Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

por **renanrdaros** » Sáb Mar 19, 2011 19:50

Estou lendo o livro Pré-Cálculo da Pearson e na parte de radiciação tem uma propriedade que diz o seguinte: $\sqrt[n]{u^n}= |u|$ para n par.

Aí vem a minha dúvida: $\sqrt[]{2^2}$ não seria +-2? Então por que a propriedade diz que o resultado é módulo de u?

por **Elcioschin** » Sáb Mar 19, 2011 20:02

Por definição:

Raiz enésima de u^n = (u^n)^(1/n) = u^(n/n) = u¹ = u

O valor \/(2²) NÃO pode ser +2 e -2 ----> O valor é 2 ou |2|

por **renanrdaros** » Sáb Mar 19, 2011 20:20

Elcioschin escreveu:Por definição:

O valor \/(2²) NÃO pode ser +2 e -2 ----> O valor é 2 ou |2|

Esse é o problema. O livro afirma a existência dessa propriedade, mas também afirma que $\sqrt[4]{16}=+-2$

Ainda estou com a dúvida...

por **LuizAquino** » Sáb Mar 19, 2011 20:38

renanrdaros escreveu:Aí vem a minha dúvida: $\sqrt{2^2}$ não seria +-2? Então por que a propriedade diz que o resultado é módulo de u?

Errado. Você está confundindo o resultado da equação x^2 = 4

, que é $x = \pm 2$ com o valor de $\sqrt{4}$ , que é 2.

A propriedade descrita no livro está certa: $\sqrt[n]{u^n}= |u|$ , para n par.

É um erro comum ignorar essa propriedade.

Por exemplo, é errado fazer $\sqrt{(-2)^2} = - 2$ .

Lembre-se que o valor de uma raiz quadrada com índice par é sempre um número positivo!

O correto seria fazer $\sqrt{(-2)^2} = |- 2|= 2$ .

Você poderia enxergar ainda de outra forma: $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4}= 2$ .

renanrdaros escreveu:Esse é o problema. O livro afirma a existência dessa propriedade, mas também afirma que $\sqrt[4]{16}=\pm 2$

O que há no livro não seria uma equação?

Por exemplo, algo como x^4 = 16

?

De fato, essa equação tem solução $x= \pm 2$ .

Por outro lado, se desejamos apenas calcular o valor de $\sqrt[4]{16}$ , então o resultado é 2.

por **renanrdaros** » Dom Mar 20, 2011 11:07

LuizAquino,

Obrigado pela ajuda! Muito boa a sua explicação!

Mas só vou colar aqui uma parte do que o livro diz: Quando n é par, números reais positivos têm duas raízes n-ésimas reais. Por exemplo: $\sqrt[4]{16}=\pm 2$

Só copiei isso pra cá pra mostrar que não estou confundindo com exponenciação nem nada. Mas o que você me diz, LuizAquino, é erro do livro mesmo?

por **LuizAquino** » Dom Mar 20, 2011 11:57

Eis o que tempos no Capítulo 2, página 17 do referido livro:

Reimpresso de:
Franklin D. Demana , Bert K. Waits, Gregoryu D. Foley e Daniel Kennedy. Pré-cálculo. 1ª edição. São Paulo: Addison Wesley, 2009.

Note que o livro define que:

"Se a tem uma raiz n-ésima, então a principal raiz n-ésima de a é aquela com o mesmo sinal de a".
"A principal raiz n-ésima de a é denotada pela expressão com o radical $\sqrt[n]{a}$ ".

A confusão está quando ele fornece o exemplo: $\sqrt[4]{16}=\pm 2$ .

Note que isso vai de encontro com a própria definição apresentada no livro! Ele define que $\sqrt[n]{a}$ denota a raiz principal de a. Além disso, ele define que a "principal raiz n-ésima de a é aquela com o mesmo sinal de a". Portanto, $\sqrt[4]{16}$ denota a principal raiz quarta de 16, que é 2. Ou seja, Devemos escrever $\sqrt[4]{16} = 2$ .

por **renanrdaros** » Dom Mar 20, 2011 15:27

Valeu, cara! Tenho só mais uma dúvida sobre um exercício que tem no livro e tem a ver com o assunto que a gente tá tratando:

$\sqrt[]{2x^3y^4}=\sqrt[]{(xy^2)^2.2x}=\sqrt[]{(xy^2)^2} . \sqrt[]{2x}=|x|y^2\sqrt[]{2x}$

Aqui eu não entendi por que só o x saiu da raíz como módulo e o y não.

por **LuizAquino** » Dom Mar 20, 2011 17:03

Lembre-se que $\left|a^2\right| = a^2$ , para qualquer número real a.

por **renanrdaros** » Seg Mar 21, 2011 00:07

?????

Sei mas ainda não entendi o exercício.

por **Dan** » Seg Mar 21, 2011 04:44

Nesse caso, o x saiu com módulo e o y² não pois qualquer número real (diferente de zero) elevado ao quadrado é sempre positivo. É redundante colocar módulo num número real elevado ao quadrado.