Ajuda! Frações algébricas!

por **vinik1** » Ter Mar 08, 2011 20:08

Sou novo no forúm, e novato na matematica também, comecei o curso de engenharia elétrica esse ano, e preciso estar afiado em conceitos básicos da matemática portanto minhas dúvidas são bem simples, mas importantes!

Ai vai:
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2 . (\frac{a-b}{a+b})^2 : (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2$

O resultado disso vai dar 1.. eu fiz.. refiz.. tentei fazer de novo... e nao consegui chegar a 1! Estou errando em algo bem bobo, mas preciso descobrir onde..
Bom.. vamos por partes..

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2$ = $(\frac{1}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2})$ Certo?

Se estiver certo passamos para o próximo passo..

por **LuizAquino** » Ter Mar 08, 2011 21:20

O que você tem é a expressão:

$\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2 \cdot (\frac{a-b}{a+b})^2}{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}$

Que é o mesmo que:

$\frac{\left(\frac{a+b}{ab}\right)^2 \cdot (\frac{a-b}{a+b})^2}{\left(\frac{b-a}{ab}\right)^2} =$

$= \frac{\frac{1}{(ab)^2} \cdot (a-b)^2}{\left(\frac{b-a}{ab}\right)^2}$

$= \frac{(a-b)^2}{(ab)^2} \cdot \frac{(ab)^2}{(b-a)^2}$

$= \frac{(a-b)^2}{(ab)^2} \cdot \frac{(ab)^2}{[(-1)(a-b)]^2}$

$= \frac{(a-b)^2}{(ab)^2} \cdot \frac{(ab)^2}{(a-b)^2}$

= 1

Sugestão
Veja o tópico abaixo. Acho que ele vai lhe interessar.
Aulas de Matemática no YouTube
viewtopic.php?f=120&t=3818

por **vinik1** » Ter Mar 08, 2011 22:49

Desculpa minha ignorância.. mas eu não intendi o que vc fez..
No segundo passo:

$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)^2 . \left(\frac{a-b}{a+b} \right)^2 = \frac{1}{(ab)^2}. \left(a-b \right)^2$ ????????????

Como assim?

Poderia me explicar?

O correto não seria eu fazer $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right) . \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)$ antes ??

aplicando a distributiva fica $\left(\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2} \right)$ ?

Não? Tá errado? Pq?

Ah! muito obrigado pelo link! vai me ajudar bastante

por **MarceloFantini** » Qua Mar 09, 2011 02:51

$\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^2 = \left( \frac{a + b}{ab} \right)^2$

Apenas faça o MMC dentro dos parenteses. Usando isso, ele cancelou com o (a+b)^2

no denominador da multiplicação.

por **vinik1** » Qua Mar 09, 2011 14:15

Daonde surgiu esse 1 no numerador? $\frac{1}{\left(ab \right)^2}$

Pq é errado fazer $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right) . \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)$ ?

por **MarceloFantini** » Qua Mar 09, 2011 14:28

Faça o MMC da soma e você verá de onde surgiu o

. E não é errado, apenas não facilita o seu trabalho. Vou fazer do jeito que você quer e verá que é a mesma coisa:

$\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \left( \frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2} \right)$

Multiplicando o primeiro no numerador e denominador por b^2

, o segundo por

e o terceiro por a^2

:

$\left( \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{2ab}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} \right) = \left( \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2b^2} \right) = \left( \frac{a+b}{ab} \right)^2$

Veja que é a mesma coisa, por muito menos trabalho.

por **vinik1** » Qua Mar 09, 2011 16:38

Muito bem.. as coisas estão se esclarecendo..

$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)^2$

Aplicando a distributiva fica:

$\left(\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2} \right)$

Fazendo o MMC e igualando os denominadores fica:

$\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2b^2}$

Até ai td bem.. mas para simplificar isso eu estou errando:

$\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2b^2}$

Não posso cancelar a^2

e

ficando apenas 2ab? porquê? Qual a melhor maneira de simplificar a partir daí?

por **MarceloFantini** » Qua Mar 09, 2011 17:02

Não, pra cancelar você teria que ter a^2b^2

como fator comum no numerador, que não acontece. A melhor maneira de simplificar é o que eu fiz: usar produto notável em sim e deixar tudo como uma fração ao quadrado.

por **vinik1** » Qua Mar 09, 2011 17:56

O que é produto notável?

Se fosse a^2+b^2

no denominador poderia cancelar?

Por exemplo:
$\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2+2ab+b^2}$

Como simplificar? Nesse caso pode cancelar b^2

e

?

por **MarceloFantini** » Qua Mar 09, 2011 23:40

Não. Produto notável são produtos comuns, por exemplo (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

,

, etc. Você só poderia cancelar se a fração fosse assim:

$\frac{a^4b^2 + 2a^3b^3 + a^2b^4}{a^2b^2} = \frac{a^2b^2(a^2 + 2ab + b^2)}{a^2b^2} = a^2 + 2ab + b^2$

Note que no numerador a^2b^2

é fator comum, colocando em evidência poderíamos cancelar.

Em outras palavras, você só pode cancelar se o mesmo elemento que estiver no numerador estiver no denominador, e estiver fatorado no numerador.

por **vinik1** » Sex Mar 11, 2011 01:06

]Ah sim! Ficou claro porém, não estou conseguindo chegar ao resultado fazendo a multiplicação dos parênteses.
Eu sei que é a maneira mais difícil, mas eu quero descobrir onde estou errando.

por Ex:
$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)^2 = \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right) . \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)$

$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)= \frac{1}{a^2}}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}$

Muito bem.. agora fazendo a soma da fração com o MMC dos denominadores fica:

$\frac{b^2+2ab+a^2}{a^2b^2}$

CERTO? certo..

Agora o outro parênteses

$\left(\frac{a-b}{a+b} \right)^2 = \left(\frac{a-b}{a+b} \right) . \left(\frac{a-b}{a+b} \right)$

$\left(\frac{a-b}{a+b} \right) . \left(\frac{a-b}{a+b} \right) = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2+2ab+b^2}$

CERTO? certo..

PORTANTO

$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)^2 . \left(\frac{a-b}{a+b} \right)^2$

é o mesmo que

$\frac{b^2+2ab+a^2}{a^2b^2} . \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2+2ab+b^2}$

CERTO?
certo?

Onde foi que eu errei? Se estiver certo.. como fazer essa multiplicação?

por **MarceloFantini** » Sex Mar 11, 2011 15:38

VocÊ está certo, só que você pode cancelar o numerador da primeira com o denominador da segunda, que resulta nessa fração:

$\frac{a^2 -2ab +b^2}{a^2b^2} = \left( \frac{a-b}{ab} \right)^2$