FUNÇÃO

por **Fabricio dalla** » Sáb Fev 26, 2011 18:49

nao consegui resolver essa funçao pra determinar o intervalo positivo e real dela (eu fiz o zero da funçao achei m=3/2 mas acho q ta errado)algume me ajuda ai por favor. agradeço a atençao de todos!

o conjunto de todos os valores de m para os quais a funçao $f(x)=\frac{{x}^{2}+(2m+3)x+({m}^{2}+3)}{\sqrt[2]{{x}^{2}+(2m+1)x+({m}^{2}+2)}}$

esta definida e é nao-negativa para todo x real é :

por **Molina** » Sáb Fev 26, 2011 20:16

Boa noite, Fabrício.

Editei sua função a cima, pois assim a fração fica melhor.

Para que esta função esteja definida o denominador (parte de baixo da fração) tem que ser maior que zero. Assim:

$\sqrt[2]{{x}^{2}+(2m+1)x+({m}^{2}+2)}>0$

${x}^{2}+(2m+1)x+({m}^{2}+2)>0$

...

Ache as raízes desta equação. Como o coeficiente de x^2

é positivo, os valores maiores que zero desta equação será os valores entre as raízes.

Para encontrar os valores em que a função seja não negativa, ou seja, maior ou igual a zero, basta fazer o numerador da fração maior ou igual a zero:

${x}^{2}+(2m+3)x+({m}^{2}+3) \geq 0$

...

E proceder analogamente ao modo feito acima: achar as raízes, e pegar o intervalo entre elas (incluindo-as).

Por fim, basta fazer a interseção entre esses dois intervalos que você obteve.

:y:

por **LuizAquino** » Sáb Fev 26, 2011 20:49

Fabricio dalla escreveu:o conjunto de todos os valores de m para os quais a funçao $f(x)=\frac{{x}^{2}+(2m+3)x+({m}^{2}+3)}{\sqrt{{x}^{2}+(2m+1)x+({m}^{2}+2)}}$
esta definida e é nao-negativa para todo x real é :

Para que essa função esteja definida, é necessário que ${x}^{2}+(2m+1)x+({m}^{2}+2)>0$ . Para que ela seja não negativa, é necessário que ${x}^{2}+(2m+3)x+({m}^{2}+3)\geq 0$ .

Estudando o sinal da parábola $g(x) = {x}^{2}+(2m+1)x+({m}^{2}+2)$ (que tem concavidade para cima), sabemos que ela será positiva quando:

Se $\Delta > 0$ , para x<x' ou x>x''.
Se $\Delta = 0$ , para qualquer valor de x exceto x' (que é o mesmo que x'').
Se $\Delta < 0$ , para qualquer x.

Onde temos que $\Delta = (2m+1)^2-4(m^2+2) = 4m - 7$ .

Para que g(x)>0 independente do valor de x, então devemos ter que 4m - 7 < 0, ou seja, m < 7/4.

Estudando o sinal da parábola $h(x) = {x}^{2}+(2m+3)x+({m}^{2}+3)$ (que tem concavidade para cima), sabemos que ela será positiva ou nula quando:

Se $\Delta > 0$ , para x<= x' ou x >= x''.
Se $\Delta \leq 0$ , para qualquer valor de x.

Onde temos que $\Delta = (2m+3)^2-4(m^2+3) = 12m - 3$ .

Para que h(x)>=0 independente do valor de x, então devemos ter que 12m - 3 <= 0, ou seja, m <= 1/4.

Fazendo a interseção entre m < 7/4 e m <= 1/4, temos que m <= 1/4.

Portanto, para m <= 1/4, independente do valor real de x, a função está definida e é não-negativa.

por **Fabricio dalla** » Sáb Fev 26, 2011 21:29

o valor do m de baixo e pra saber a condiçao de existencia do denominador da funçao
e o m de cima e pra saber o intervalo positivo de x?
obs:pra mim m tinha um valor soh :(

por **LuizAquino** » Dom Fev 27, 2011 10:11

Fabricio dalla escreveu:o valor do m de baixo é pra saber a condição de existência do denominador da função
e o m de cima e pra saber o intervalo positivo de x?

Sim.

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