Quem é maior?

por **victoreis1** » Qui Nov 25, 2010 18:40

Quem é maior, $3^{2^{4^{5}}}$ ou $2^{3^{4^{5}}}$ ?

obs: note-se que $3^{2^{4^{5}}} \neq (3^{2^{4}})^{5}$

não consegui fazer.. se forem tentar, por favor, nem tentem calcular "quanto vale" cada número..

por **victoreis1** » Sex Nov 26, 2010 01:27

acho que consegui.. vejam se tá certo:

seja $x = 4^{5}$ . Suponha que $3^{2^{x}} > 2^{3^{x}}$ .

Usando logaritmo:

$2^{x} ln(3) > 3^{x} ln(2)$

$\frac{2^{x}}{3^{x}} > \frac {ln(2)}{ln(3)}$

$({\frac{2}{3}}})^{x} > \frac {ln(2)}{ln(3)}$

$x ln(\frac{2}{3}) < ln(\frac {ln(2)}{ln(3)})$

$x < \frac{ln(\frac {ln(2)}{ln(3)})}{ln(\frac{2}{3})} \approx 1,13588$

já que x = 4^5

, então

(absurdo)

logo temos que $3^{2^{x}} < 2^{3^{x}}$ .

por **Loretto** » Sex Nov 26, 2010 01:29

por **Rogerio Murcila** » Sex Nov 26, 2010 13:24

${3}^{{2}^{{4}^{{5}}}}$ = ${10}^{{10}^{308}}$

${2}^{{3}^{{4}^{{5}}}}$ = ${10}^{{10}^{{489}}}}$

por **Loretto** » Sex Nov 26, 2010 14:03

Vamos lá.

Pergunta-se qual das potências seguintes é a maior:

[(3²)^4]^5
ou
[(2³)^4]^5

Veja que cada uma pode ser reescrita assim:

3^40
ou
2^60

Agora, para saber qual a maior, vamos aplicar logaritmo a cada uma, ficando:

log3^40 -------> 40log3

ou

log2^60 -----> 60log2

Como log3 é aproximadamente 0,4771 e log2 é aproximadamente 0,30103, vamos substituir em cada uma das expressões:

40log3 ----> 40*0,4771 = 19,084
ou
60log2 ----> 60*0,30103 = 18,062

Veja que o número formado a partir de 3^40 tem 20 algarismos (19 da característica do logaritmo + uma unidade).
E o número formado a partir de 2^60 tem 19 algarismos(18 da característica do logaritmo + 1 unidade).

Então, 3^40 é maior do que 2^60.

OK?
Adjemir.

por **Loretto** » Sex Nov 26, 2010 14:05

Espero que ajude !

por **victoreis1** » Sex Nov 26, 2010 14:35

tá errado loretto

$({3^{2}})^{4^{5}} \neq 3^{2^{4^{5}}}$

por **Rogerio Murcila** » Sex Nov 26, 2010 15:53

Vamos lá:

Resolvendo o primeiro numero ${3}^{{2}^{{4}^{{5}}}}$
Temos --- ${4}^{{5}}$ = 1024
ai fica
${3}^{{2}^{{4}^{{5}}}}$ = ${3}^{{2}^{1024}}$ = ${3}^{1,797693134862315907729305190789}^{{10}^{308}}$ $\approx$ ${10}^{{10}^{308}}$

Resolvendo o segundo numero ${2}^{{3}^{{4}^{{5}}}}$
Temos --- ${4}^{{5}}$ = 1024
ai fica
${2}^{{3}^{{4}^{{5}}}}$ = ${2}^{{3}^{1024}}$ = ${2}^{3,7339184874102004353295975418487}^{{10}^{{489}}}}$ $\approx$ ${10}^{{10}^{489}}$

Portanto ${2}^{{3}^{{4}^{{5}}}}$ é maior que ${3}^{{2}^{{4}^{{5}}}}$

por **0 kelvin** » Sex Nov 26, 2010 19:34

É, no começo achei q dava pra multiplicar os expoentes como se fosse (a^b)^c

mas como tem aquela indicação que não pode fazer isso, então a conclusão q eu tinha chegado tb q era: $81^{10} > 64^{10}$ é falsa por potenciação feita errado.

Eu só sei fazer quando a questão dá pelo menos um log aproximado, pq aí é só fatorar.

por **Loretto** » Sex Nov 26, 2010 23:28

Quem disse que não podi ? Num é tudo potência ? Intão podi uai !!

por **MarceloFantini** » Sex Nov 26, 2010 23:37

Eu sinceramente espero que você esteja brincando, Loretto.

por **Lorettto** » Sáb Nov 27, 2010 01:37

"Quem disse que não podi ? Num é tudo potência ? Intão podi uai !!"

O meu comentário acima foi para a resolução que eu postei. Ou seja, estando tudo entre parênteses, faça a minha resolução. Senão, não faça. E brincar, eu só brinco com quem eu conheço, e de preferência, amigos ! :y:

por **victoreis1** » Sáb Nov 27, 2010 01:39

Mais outra, quem sabe um pouco mais difícil.

Peço-lhes novamente que resolvam logicamente/algebricamente, não tentem calcular, não tem graça ^^

Quem é maior, 50!

ou $20^{50}$ ?

por **Lorettto** » Sáb Nov 27, 2010 02:13

20^{50} > 50 !

por **0 kelvin** » Sáb Nov 27, 2010 11:44

Potência de base 2, uma hora dobra e passa o fatorial, depois dobra, dobra e o fatorial fica pra trás.

por **victoreis1** » Sáb Nov 27, 2010 12:25

Ambos estão certos, mas notem que não é tão óbvio assim. Notem que $51! > 20^{50}$ .

Alguém consegue fazer essa questão sem ser indutivamente?

por **0 kelvin** » Sáb Nov 27, 2010 12:31

Função?

f(x) = x!
f(x) = 2^x

por **meuemail** » Seg Dez 13, 2010 01:12

${3}^{{2}^{{4}^{5}}} . . . . {2}^{{3}^{{4}^{5}}}$
Mas isto é válido
${{3}^{2}}^{y}} . . . . {{2}^{3}}^{y}}$

por **Lorettto** » Seg Dez 13, 2010 01:23

Isso resolve de modo direto a qualquer questão de maior , menor de potências gigantes !! Claro, apenas quando estamos elevados a potências iguais, aí a base determina mesmo.