por andymath » Qua Mar 31, 2010 19:14
Eu não sei se a resposta tá certa, mas vamos lá
Se o primeiro, que sabe a área, não sabe quais são os lados, é porque:
- Ou a área é ? 12 (porque 11 é impossível; 10 só poderia ter lados 2 e 5; 9 só lados iguais a 3; 8 só poderia ter lados 2 e 4; 7 é impossível; 6 só poderia ter lados 3 e 2; 5 é impossível, 4 só lados iguais a 2;) ou a fatoração da área tanto não dá um produto de somente dois números primos como também não dá o produto de nenhum número não-primo por um primo ? 31. Porque se fosse um dos casos:
A < 12
A = x × y = {(2 × 2), (2 ×3), (2 × 4), (3 × 3), (2 × 5)}
* Note que 11, 7 e 5 implicariam em um dos lados medindo 1, o que é impossível pela faixa dada no problema. *
Portanto se A < 12, os lados seriam descobertos facilmente.
Já se a fatoração desse o produto de dois números primos, como a área da fazenda é obrigatoriamente o produto de dois números, o problema também seria automaticamente resolvido.
O detalhe interessante é que se, na fatoração, um dos fatores fosse ? 31, ou seja:
A/31 = um número não-primo qualquer, então também estaria resolvido o problema pq não existe nenhum número não-primo que possamos multiplicar por um primo ? 31 para encontrar valores entre 2 e 62.
Portanto, conclui-se que, quando o primeiro diz não saber quais são os lados da fazenda ele implicita a idéia de que a área é um número ? 12 formado pela multiplicação de um número primo ? 31 por um outro número não-primo qualquer.
Entretanto, o segundo não teria como prever o fato de o primeiro não estar com uma área < 12 ou com um número cuja fatoração tenha somente primos inferiores a 31, a não ser que a soma 2x+2y = 2P (perímetro), ou seja, x+y = P; indique que x e y nem são maiores que 31, isto é:
x + y ? 33
pois nesse caso x ? 33 - y (y que pode ser no mínimo 2).
Para isso (x + y) ? (3 + 4) e ? (6 + 2), ou seja ? 8 e ? 33, então:
8 ? (x + y) ? 33.
Mas quando o segundo afirma isso para o primeiro ele dá um dica, justamente que a soma está entre 8 e 33, pois essa é a única forma de o segundo poder garantir que certamente e primeiro ainda não tem os números.
O primeiro, por sua vez, só tem condições de resolver o problema se essa informação for definitiva para alguma coisa. E isso só aconteceria se o produto resultasse uma área com mais de 2 termos primos resultando em mais de uma possibilidades.
São eles, xy ? 12 e 8 ? (x + y) ? 33:
12 não serve! O primeiro até ficaria na dúvida entre x = 3 e y = 4 ou x = 2 e y = 6, mas se o perímetro fosse 14, (x + y), portanto = 7, como seria ? 8, o segundo não teria razões para suspeitar que o primeiro não soubesse quais os lados da fazenda.
13 também não serve porque é primo, logo só seria solução se um dos lados pudesse ser 1. Isso se aplica a todos os primos deste intervalo [8, 33], que são: 13, 17, 19, 23, 29, 31; nenhum destes servem pelo mesmo motivo.
14 só pode ser expresso em termos de 7 × 2, portanto se a area fosse 14, o primeiro não teria dúvidas.
15 não serve pela mesma razão que 14. O 15 também pode ser expresso sob forma de produto de 2 números primos, o que não geraria dúvidas ao primeiro matemático.
O mesmo ocorre com 21, 22, 25, 26 e 27. Todos são obtidos através do produto de 2 primos. (É só fatorar para confirmar)
Ficamos então com 16, 18, 20, 24, 28 e 30 como possíveis áreas que estariam no papel dado ao primeiro.
Contudo vejamos, 16 = (2 × 8) é um exemplo de uma possibiliadde para os valores de x e y, certo?
Porém se a área fosse 16 e 2 e 8 fossem os valores procurados, apesar de o primeiro não conseguir saber quais são os valores para x e y imediatamente, o segundo não poderia suspeitar disso.
O segundo teria um perímetro = 2(2) + 2(8) = 4 + 16 = 20, logo x + y = 10.
Então, para o segundo matemático, x e y teriam as possibilidades de uma soma que dê 10. Que seriam:
(8 + 2); (7 + 3); (6 + 4) e (5 + 5)
Convém lembrar que só a possibiliadde de x = 7 e y = 3 já faz com que o segundo não possa suspeitar que o primeiro não tem o resultado. Porque nesse caso a área seria 21 que só pode ser escrito como 7 × 3 mesmo...
Logo, buscamos um número cuja soma não possa ser escrita, na forma fatorada, com duas parcelas compostas por números primos.
Testando o 18, 20, 24 e 28, que são alguns que sobraram como possíveis, temos:
18 = 6 × 3, por exemplo, cuja soma 6 + 3 = 9; uma soma que pode ser expressa por 7 + 2, dois números primos, logo 18 não serve.
20 = 4 × 5 -> soma 9, idem o 18, não serve.
24 = 6 × 4 -> soma 10, que pode ser escrita na forma 7 + 3, primo + primo, então não serve.
Note que se escrevermos o 24 como 2 × 12 -> soma 13 tb não serve pq pode ser 7 + 5 (dois primos). Mas se imaginarmos 24 = 8 × 3 -> soma 11, essa serve!
11 não pode ser escrito como a soma de dois primos, veja:
11 = (9 + 2) ou (8 + 3) ou (7 + 4) ou (6 + 5)
Mas como o segundo não sabe qual é o valor de x e y, já descartamos o 24.
O importante, entretanto é que x + y = 11, serve!
28 = 2 × 14 -> soma 16 que pode ser x = 13 e y = 3, não serve! Mas o 28 também pode ser escrito como 4 × 7 -> soma 11, e essa serve.
Cabe aqui fazer uma análise do que já observamos, as áreas que poderiam ser dúvidas na cabeça do primeiro são {16, 18, 20, 24, 28 e 30}, entretanto essas áreas não necessariamente assinalariam para o segundo uma chance real de dúvida, depende da soma x + y que está em seu papel, e como já vimos a soma 11, geraria uma dúvida, se não houvesse outra possibilidade que excluisse o número como favorito para solução. Já descartamos 16, 18, 20, 24 e 28 por esses motivos expostos. Vejamos o 30.
O 30 pode ser escrito como;
(6 × 5) ou (2 × 15)
em um caso soma 11 e, como já vimos, é um bom indício, pois serve.
No outro caso a soma é 2 + 15 = 17, então:
17 = (2 + 15) ou (14 + 3) ou (13 + 4) ou (12 + 5) ou (11 + 6) ou (10 + 7) ou (9 + 8)
Bem, como nenhuma dupla de parcelas é composta só por primos, então a soma 17 também serve!!!
Então a área no papel do primeiro é 30 e a soma no papel do segundo é 17. Por quê?
Porque como o primeiro disse, "Agora eu sei as medidas dos lados da fazenda" é porque ele sabia que a única maneira de x e y serem somados em parcelas que dessem a Alberto a informação que Rodrigo não poderia saber as medidas dos lados da fazenda era se x e y só pudessem ser expressos sob somas que nunca seriam formadas por duas parcelas primas. E apesar de tanto o 11 quanto o 17 serem somas que apresentam tal propriedade, o 17 é a única apresenta parcelas que quando viram fatores geram números que podem ser escritos sempre como somas de não primos.
No caso do 11 = (9 + 2), serve, mas (9 × 2) = 18, já vimos, não serve.
(8 + 3), idem, serve, mas (8 × 3) = 24, que não serve também. Com (7 + 4), o mesmo ocorre, 28, não serve como área. Somente x= 6 e y= 5 serve como soma e como área, então o segundo já saberia as medidas antes do primeiro. Mas como o segundo só disse "Agora eu também sei as medidas dos lados da fazenda" depois que o primeiro disse isso, é porque dos resultados possíveis, mais de um resultava em uma área duvidosa.
Para provar, analisaremos o 17:
(15 + 2) -> serve e (15 × 2) = 30 -> serve
(14 + 3) -> serve e (14 × 3) = 42 -> serve também pois é impossível determinar os lados com essa área. Já com a soma = 17, fica possível.
(13 + 4), (12 + 5), (11 + 6), (10 + 7) e (9 + 8); o mesmo ocorre.
(13 × 4) = 52, (12 × 5) = 60, (11 × 6) = 66, (10 × 7) = 70 e (9 × 8) = 72; faz com que fique impossível saber sem saber que a soma é 17.
Portanto, finalmente, x = 15 e y = 2.
Resposta: A área da fazenda é 30, o perímetro é 34 e os lados são 2 km e 15 km.