Exercícios de Matrizes

por **Cleyson007** » Sáb Jul 26, 2008 18:20

Olá, boa tarde!!!

Estou estudando matrizes e determinantes... e estou com duas questões que estou com dúvidas ( quanto à 1ª, gostaria de saber se está correto o modo que a resolvi!!!, quanto à 2ª, não estou conseguindo resolver e gostaria que me ajudasse.)

As questões são essas --> 01) (FGV) Considere a equação matricial AX=B

, onde $A= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & m \end{pmatrix}$ ; $B= \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ ; $X= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
a) Para que valores de

a equação tem solução única?
b) Resolva a equação para m=0

.

Resolvi da seguinte maneira ---> a) $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & m \end{pmatrix}$ . $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}$ .

Resolvendo a multiplicação das matrizes, encontrei as duas equações: 3x+y=4 e 2x+my=0

.

Calculei o determinante dessas duas equações (que formam um sistema), observando que o problema diz que o valor de

tem que fazer com que a equação possua solução única (SPD-Sistema Possível e Determinado), ou seja

tem que ser diferente de 0.

Encontrei como resultado $m\neq\frac{2}{3}$ .

02) (FGV) A matriz

é inversa da matriz

.
$A= \begin{pmatrix} x & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ $B= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ y & 2 \end{pmatrix}$ .
Nessas condições, podemos afirmar que a soma x+y

vale:

a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5

*Acredito eu que a questão está dizendo que $A=\frac{1}{B}$ , mas, não consegui resolvê-la por aí de maneira alguma!!!

Gostaria que me ajudasse!!!

Até mais.

por **admin** » Sáb Jul 26, 2008 19:28

Olá Cleyson, boa noite!

A resolução 1 está sim correta.

O que a questão 2 diz, pela definição de matriz inversa, é que o produto entre

e

é igual à matriz identidade de ordem 2, pois

é inversa de

.

Pensando inicialmente na inversa de

, pela definição temos:
$B \cdot B^{-1} = B^{-1} \cdot B = I_2$

Mas como $B^{-1}$ é única e $A = B^{-1}$ , segue que:

$B \cdot A = A \cdot B = I_2$

Lembrando que:

$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Após fazer o produto, considere a definição de igualdade entre matrizes para encontrar os valores de

e

. Você deverá obter a alternativa (c) para a soma procurada.

Bons estudos!

por **Cleyson007** » Dom Ago 24, 2008 17:42

fabiosousa escreveu:Olá Cleyson, boa noite!

A resolução 1 está sim correta.

O que a questão 2 diz, pela definição de matriz inversa, é que o produto entre e é igual à matriz identidade de ordem 2, pois é inversa de .

Pensando inicialmente na inversa de , pela definição temos:
$B \cdot B^{-1} = B^{-1} \cdot B = I_2$

Mas como $B^{-1}$ é única e $A = B^{-1}$ , segue que:

$B \cdot A = A \cdot B = I_2$

Lembrando que:

$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Após fazer o produto, considere a definição de igualdade entre matrizes para encontrar os valores de e . Você deverá obter a alternativa (c) para a soma procurada.

Bons estudos!