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Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Seção para postagens de problemas matemáticos do cotidiano, reportagens, casos interessantes, polêmicos ou curiosos.
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    Bons estudos!

Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor admin » Dom Set 02, 2007 04:52

No dia 31/08/2007, o Jornal da Globo exibiu uma reportagem sobre a Mega Sena acumulada:

R$ 54 milhões na Mega Sena
A chance de um jogador ganhar continua sendo de uma em 50 milhões, mas os matemáticos garantem que a probabilidade do prêmio sair desta vez é muito grande.


Além desta citação, baseada na explicação de um matemático em entrevista, o jornalista comentou que seria "mais fácil" jogarmos 26 moedas iguais para o alto e todas caírem do mesmo lado, do que ganharmos na Mega Sena.

Deixo aqui algumas perguntas:

  • Você já calculou a probabilidade de se ganhar na Mega Sena?
  • Este exemplo utilizado no jornal, é verdadeiro?
  • Por que este número de 26 moedas?
  • Será que nós poderíamos dizer, por exemplo, que jogar 27 moedas iguais para o alto e todas caírem do mesmo lado, é "mais difícil" então do que ganharmos na Mega Sena?
  • Como "os matemáticos garantem" a citação inicial do jornal?
Fábio Sousa
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Re: Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor jose reis pimenta » Ter Nov 13, 2007 19:57

Considerando que a probalidade de uma moeda dar cara é 1/2,
duas moedas dar cara é de 1/4 e assim a probabilidade de n moedas dar cara é 2 elevado a n, donde podemos concluir que a probabilidade de lançar 26 moedas e todas dar cara é de 2 elevado a 26, daí, temos P= 1/67.108.864 o que se percebe que é mais fácil acertar na mega sena do que tirar 26 caras num lançamento de 26 moedas.
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Re: Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor admin » Ter Nov 13, 2007 21:13

jose reis pimenta escreveu:Considerando que a probalidade de uma moeda dar cara é 1/2,
duas moedas dar cara é de 1/4 e assim a probabilidade de n moedas dar cara é 2 elevado a n, donde podemos concluir que a probabilidade de lançar 26 moedas e todas dar cara é de 2 elevado a 26, daí, temos P= 1/67.108.864 o que se percebe que é mais fácil acertar na mega sena do que tirar 26 caras num lançamento de 26 moedas.


Olá jose, seja bem-vindo ao fórum!

Notem que o comentário do jornalista foi sobre as moedas caírem do mesmo lado, o que não exige que todas caiam do lado cara.
Podem também todas caírem do lado coroa e ainda estarão do mesmo lado!

Vale outro comentário rápido: a probabilidade é a quociente entre o número de eventos favoráveis, sobre o número de eventos possíveis.
Este número (a probabilidade) pertence sempre ao intervalo real fechado [0, 1].
Ou seja, uma probabilidade nunca é, por exemplo, 2^{26}.

Neste caso, nós temos 2 eventos favoráveis: todas em cara, ou todas em coroa.
Sendo então a probabilidade ao lançar as moedas:
P = \frac{2}{2^{26}} = \frac{2}{67.108.864} = \frac{1}{33.554.432}
Vejam que a façanha das moedas ainda é "mais fácil" do que ganhar na Mega Sena.

Agora reparem o que acontece quando aumentamos uma moeda!

Abraços!
Fábio Sousa
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Re: Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor jose reis pimenta » Dom Nov 18, 2007 07:25

Realmente, você tem razão, pois quando resolvi deixei de considerar as duas possibilidades "cara" e "coroa".
Olha gostaria de dizer-lhe que apesar de amante da matemática, a minha formação acadêmica é em direito, apesar de não exercê-la, devido a incompatibilidade de minha função de funcionário público na Justiça Federal (técnico).
Abraços. Pimenta
jose reis pimenta
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Re: Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor admin » Seg Nov 19, 2007 13:27

Olá Pimenta!
Acredito que independentemente do que se faz, o importante é gostar, pois faremos melhor.
Sucesso!
Fábio Sousa
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Cálculo da probabilidade de acerto na Mega Sena

Mensagempor admin » Seg Dez 03, 2007 15:50

Há algum tempo o site da Caixa Econômica Federal informava "fórmulas" para os cálculos das probabilidades.
Considerando algumas buscas de visitantes por este assunto aqui na Ajuda Matemática e o fato de que atualmente a Caixa apenas informa a probabilidade, sem mais detalhes sobre o cálculo (http://www.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp), eis um comentário para obtermos a probabilidade de acerto informada para 6 dezenas que é de 1 em 50.063.860 (50 milhões 63 mil 860).

P = \frac{1}{50.063.860}

Veja este número em representação decimal:
P = 0,00000001997448858...

E o percentual de acerto:
P = 0,000001997448858...\%



São 6 dezenas sorteadas dentre 60, sem repetição:

\underbrace{
\begin{array}{cccccc}
\overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a}
\end{array}
}_\mbox{dezenas sorteadas}

Vamos entender o processo.
No sorteio da primeira dezena, temos todas as 60 dezenas disponíveis, ou seja, temos 60 possibilidades:

\underbrace{
\begin{array}{cccccc}
60 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a}
\end{array}
}_\mbox{dezenas}


No sorteio da segunda, como não há repetição da dezena, restam 59 possibilidades:

\underbrace{
\begin{array}{cccccc}
60 & 59 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a}
\end{array}
}_\mbox{dezenas}

Até que no sorteio da última dezena, serão 55 possibilidades:

\underbrace{
\begin{array}{cccccc}
60 & 59 & 58 & 57 & 56 & 55 \\
\overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a}
\end{array}
}_\mbox{dezenas}

Pelo Princípio Fundamental da Contagem: Se há 60 maneiras para 1ª dezena ser sorteada E 59 maneiras para a 2ª dezena ser sorteada ... E 55 maneiras para a 6ª dezena ser sorteada, o número total de maneiras para o sorteio ocorrer será o produto destas possibilidades, ou seja:

60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 =  36.045.979.200 (36 bilhões 45 milhões 979 mil e 200 possibilidades)
Dicas para outras pesquisas: rule of product / basic counting principle / the fundamental principle of counting


Em cada conjunto de 6 dezenas, pode haver permutação e ainda assim será considerado o mesmo sorteio.
Da combinatória, se temos n elementos distintos, podemos obter n! arranjos destes elementos.
Estes arranjos são chamados de permutações.
n! (fatorial de n)
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot \, \cdots \, \cdot1

Exemplos:
0! = 1

1! = 1

2! = 2\cdot1 = 2

6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720

De modo que o número total possível de jogos será, de fato, menor.
Porque até então, temos 6! "jogos repetidos" neste número "60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55".
Então, para encontrarmos o número total de jogos sem estas repetições, devemos dividir por 6!.

total possível de sorteios na Mega Sena = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55}{6!} = \frac{36.045.979.200}{720} = 50.063.860


Na prática, pela teoria combinatória, este é o número de combinações de n elementos distintos tomados de p em p.
Pode ser obtido diretamente por esta "fórmula" (cuja origem é análoga a este processo acima):
C_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)! \cdot p!}

Veja como obtemos o mesmo resultado:
C_{60,6} = \frac{60!}{(60-6)! \cdot 6!}
= \frac{60!}{54! \cdot 6!}
= \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 \cdot 54!}{54! \cdot 6!}
 = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55}{6!}

C_{60,6} = 50.063.860


Como a probabilidade é o quociente entre a quantidade de eventos favoráveis, sobre a quantidade de eventos possíveis, então finalmente podemos representar a probabilidade de acerto na Mega Sena:

P = \frac{1}{C_{60,6}} = \frac{1}{50.063.860} = 0,00000001997448858...
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.