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[algarismos] Raciocínio Lógico

[algarismos] Raciocínio Lógico

Mensagempor kotta » Seg Fev 04, 2008 19:51

(FCC/TRT/6R/2006) Se na numeração das páginas de um livro foram usados 405 algarismos, quantas paginas tem esse livro?

a) 164
b) 171
c) 176
d) 184
e) 181

Estava pensando que cada folha pode ter 2 páginas, ou seja, de um lado e do outro. Nenhuma página pode começar com o nº 0, epode ter nºrepetidos, por ex.: 100, 101, 111, mas daí eu agarro. rs
Se puderem me ajudar, agradeço a todos.
kotta
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Re: Raciocínio Lógico

Mensagempor fabiosousa » Seg Fev 04, 2008 21:43

Olá!

O que você escreveu está correto.
Deve continuar pensando nas seguintes perguntas:
1) Qual o total de algarismos utilizados nas páginas de unidades?
2) Qual o total de algarismos utilizados nas páginas de dezenas?
3) Qual o total de algarismos utilizados nas páginas de centenas?
Como o enunciado cita 405 algarismos utilizados, estes 3 casos bastam.



1) O caso das unidades é mais trivial. Cada página utiliza um único algarismo.
São 9 páginas, 9 algarismos (da página 1 à página 9).


Agora, antes de continuar, repare o seguinte:
-para as páginas de dezenas, o total de algarismos será o dobro do número de páginas (porque cada página possui dois algarismos);
-para as páginas de centenas, o total de algarismos será o triplo do número de páginas (porque cada página possui três algarismos);

2) Para o caso das dezenas, pegunte-se:
-Quais as próximas páginas com dezenas?
Da página 10 à 99.
-Quantas exatamente são estas páginas?
Se tiver uma dificuldade inicial para contar mentalmente, pense nestes casos reduzidos:
Da página 10 à 19, são 10 páginas.
Da página 20 à 29 são 10 páginas.
...
Da página 90 à 99 são 10 páginas.
Ou seja, para as páginas com dezenas temos 9x10 = 90 páginas.
Lembrando então que o número de algarismos aqui é dobro, são 180 algarismos.



Vamos para o caso 3, das centenas.
Antes, repare que nosso livro já tem 9+90 = 99 páginas!
E falando em algarismos, são 9+180 = 189 algarismos!



3) Para o caso das centenas, utilizando a mesma idéia, pegunte-se:
-Quais as próximas páginas com centenas?
Da página 100 à 999.
-Quantas exatamente são estas páginas?
Se tiver uma dificuldade inicial para contar mentalmente, também pense em casos reduzidos:
Da página 100 à 109, são 10 páginas.
Da página 110 à 119 são 10 páginas.
...
Da página 190 à 199 são 10 páginas.
Ou seja, para as páginas da primeira centena, temos 10x10 = 100 páginas.
Também lembrando que o número de algarismos aqui é triplo, para cada faixa de centena completa são usados 300 algarismos.


Como o livro já tem 189 algarismos, quantos faltam para 405?
216 algarismos!

E estes 216 algarismos estarão nas páginas das centenas, certo?
Ou seja, cada próxima página tem 3 algarismos, então, dividindo 216 por 3, ainda precisamos de 72 páginas.


Somando os números sublinhados que encontramos, o livro possui 171 páginas, são elas:
9 de unidades (9 algarismos).
90 de dezenas (180 algarismos).
72 de centenas (216 algarismos).
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Re: Raciocínio Lógico

Mensagempor kotta » Ter Fev 05, 2008 11:44

Fábio muitissimo obrigada, não tinha pensado em tudo isso não. Valeu sua ajuda.
Ando enferrujada com a matemática mas ainda chego lá.rs
Abs.
kotta
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D