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PG - PA

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Mensagempor kotta » Qui Jan 31, 2008 13:11

Olá, poderia me ajudar com este exercício?
(UFMG-97- ADAPTADA)Três números reais positivos a,b, c satisfazem o sistema abc={3}^{9}[/tex]
a+b+c=117[/tex]

Além disso, eles estão em progressão geometrica, isto é, existe um número real R tal que b+aR e c=bR.
Determine todos os possíveis valores de R e os correspondentes valores de a,b,c.
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Re: PG - PA

Mensagempor fabiosousa » Qui Jan 31, 2008 18:39

Condições:
a,b,c \in \Re

a,b,c > 0

\left\{
\begin{matrix}
   abc   &= &3^9 &(I) \\ 
   a+b+c &= &117 &(II)
\end{matrix}
\right.

a,b,c estão em progressão geométrica, com razão R \in \Re:
b=aR

c=bR

Vamos reescrever o sistema de equações, utilizando a informação sobre P.G.:
\left\{
\begin{matrix}
   a\cdot aR \cdot bR   &= &3^9 \\
   a+aR+bR &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   a\cdot aR \cdot aRR   &= &3^9 \\
   a+aR+aRR &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   a^3\cdot R^3 &= &3^9 \\
   aR^2+aR+a &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   (aR)^3 &= &(3^3)^3 \\
   a(R^2+R+1) &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   aR &= &27 &(III)\\
   a(R^2+R+1) &= &117 &(IV)
\end{matrix}
\right.

agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas


De (III):

a= \frac{27}{R}

Substituindo em (IV):

\frac{27}{R}(R^2+R+1) = 117

27R^2+27R+27 = 117R

27R^2+27R+27 - 117R = 0

27R^2-90R+27 = 0

Vamos resolver esta equação do segundo grau:
\Delta = (-90)^2 -4\cdot 27 \cdot 27

\Delta = 8100 - 2916 = 5184

R = \frac{90\pm \sqrt{5184}}{54}

R = \frac{90\pm 54}{54}

R = 3 ou R=\frac13


Para R = 3 e as condições atendidas, teremos que:
\left\{
\begin{matrix}
   a &= &9 \\
   b &= &27 \\
   c &= &81
\end{matrix}
\right.


Para R = \frac13:

\left\{
\begin{matrix}
   a &= &81 \\
   b &= &27 \\
   c &= &9
\end{matrix}
\right.


Caso tenham outra resolução, comentários ou correções, escrevam.
Espero ter ajudado.
Fábio Sousa
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Re: PG - PA

Mensagempor kotta » Sáb Fev 02, 2008 20:35

Olá, uma nova questão de PA E PG, não estou conseguindo ver uma maneira direta pra resolver.
Estava pensando em encontrar o valor de com o valor da razão que foi dado, mas simplesmente não consigo. A questão é a seguinte.
(UFMG - 2002) Os números a,b, c, nessa ordem estão em progressão geométrica de razão \frac{4}{3}. Além disso, a-1, b, c, nessa ordem, estão em progressão aritmética a, b, c.

Eu estava tentando resolver assim:
R=\frac{b}{a}= \frac{b}{c}
[tex]\frac{4}{3}=\frac{a*r}{a}
e lembrando da teoria de PG que diz: b=a*r

mas qdo vou resolver nada.
\frac{4}{3}= \frac{b}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*r}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*4/3}{a}
simplifico, cortando a com a e fico com valores que eu ja tenho, ou seja, r=\frac{4}{3}e volto a ficar sem saber o valor de a.
Será que podem me ajudar?
Estou completamente perdida com a mtemática, e isso é só o começo. rsrs

Abs.
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Re: PG - PA

Mensagempor fabiosousa » Dom Fev 03, 2008 00:08

Olá kotta.
É importante comentar as tentativas, mesmo que não tenham sido produtivas.

Resolvi o exercício no papel, mas antes de postar aqui, seguem algumas dicas:

1) Como a razão da P.G. é dada, você já pode escrever os 3 termos desta P.G. em função de a, ou seja:
P.G. \left\{ a, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

2) Analogamente, faça o mesmo para a P.A:
P.A. \left\{ a-1, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

3) Agora, para resolver, note o seguinte:
Na P.G., a razão é um valor constante, sendo o quociente entre um termo e seu antecessor.
Já na P.A., a razão também é constante, sendo a diferença entre um termo e seu antecessor.
Então, aplique este conceito de razão de P.A. à nossa P.A. acima, igualando a diferença do segundo termo pelo primeiro, com a diferença do terceiro pelo segundo termo.
Fazendo assim, nesta igualdade, você terá uma equação do primeiro grau, com uma única variável que é exatamente o primeiro termo a, e você poderá encontrá-lo.
Conseqüentemente, poderá substituí-lo para encontrar b e c que estão em função de a.

Você deve encontrar estes valores:
a=9, b=12 e c=16.
Nota: para conferir, teste os valores e verá que satisfazem as progressões citadas.
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Re: PG - PA

Mensagempor fabiosousa » Dom Fev 03, 2008 00:42

Como os comentários se anteciparam, segue a resolução com poucas palavras:

Do enunciado, temos as seguintes progressões:
P.G. \left\{ a, b, c \right\} (com razão \frac43)

P.A. \left\{ a-1, b, c \right\} (a razão ainda não sabemos)


O primeiro passo é reescrever a progressão geométrica, considerando a razão informada:
b = \frac{4a}{3}

c = \frac{16a}{9}

P.G. \left\{ a, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

Utilizando então b e c em função de a, também reescrevemos a progressão aritmética:
P.A. \left\{ a-1, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

Seja r a razão da P.A., então:
r = \frac{4a}{3} - (a-1)

E também:
r = \frac{16a}{9} - \frac{4a}{3}

Daqui, obtemos que:
\frac{4a}{3} - (a-1) = \frac{16a}{9} - \frac{4a}{3}

\frac{4a}{3} - a + 1 = \frac{16a - 12a}{9}

\frac{a}{3} + 1 = \frac{4a}{9}

\frac{4a - 3a}{9} = 1

\frac{a}{9} = 1

a = 9

Logo:
b = \frac{4a}{3} = \frac{4\cdot 9}{3} = 12

c = \frac{16a}{9} =  \frac{16 \cdot 9}{9} = 16

E apenas para citar, como já encontramos para resolver, a razão da P.A. é r = 4.
Cuidado na conferência, porque o primeiro termo é a-1.


Espero ter ajudado, e como sempre, caso tenham algum comentário ou complemento, escrevam.
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Re: PG - PA

Mensagempor kotta » Dom Fev 03, 2008 14:58

Valeu Fábio, muito obrigada.
Estava ficando travada na hora de resolver pq estava tentando resolver pela PG. Agora vou refazer meus calculos.
Você está me ajudando muito.
Grande abraço.
Kenia
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D