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PG - PA

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Mensagempor kotta » Qui Jan 31, 2008 13:11

Olá, poderia me ajudar com este exercício?
(UFMG-97- ADAPTADA)Três números reais positivos a,b, c satisfazem o sistema abc={3}^{9}[/tex]
a+b+c=117[/tex]

Além disso, eles estão em progressão geometrica, isto é, existe um número real R tal que b+aR e c=bR.
Determine todos os possíveis valores de R e os correspondentes valores de a,b,c.
kotta
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Re: PG - PA

Mensagempor fabiosousa » Qui Jan 31, 2008 18:39

Condições:
a,b,c \in \Re

a,b,c > 0

\left\{
\begin{matrix}
   abc   &= &3^9 &(I) \\ 
   a+b+c &= &117 &(II)
\end{matrix}
\right.

a,b,c estão em progressão geométrica, com razão R \in \Re:
b=aR

c=bR

Vamos reescrever o sistema de equações, utilizando a informação sobre P.G.:
\left\{
\begin{matrix}
   a\cdot aR \cdot bR   &= &3^9 \\
   a+aR+bR &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   a\cdot aR \cdot aRR   &= &3^9 \\
   a+aR+aRR &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   a^3\cdot R^3 &= &3^9 \\
   aR^2+aR+a &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   (aR)^3 &= &(3^3)^3 \\
   a(R^2+R+1) &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   aR &= &27 &(III)\\
   a(R^2+R+1) &= &117 &(IV)
\end{matrix}
\right.

agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas


De (III):

a= \frac{27}{R}

Substituindo em (IV):

\frac{27}{R}(R^2+R+1) = 117

27R^2+27R+27 = 117R

27R^2+27R+27 - 117R = 0

27R^2-90R+27 = 0

Vamos resolver esta equação do segundo grau:
\Delta = (-90)^2 -4\cdot 27 \cdot 27

\Delta = 8100 - 2916 = 5184

R = \frac{90\pm \sqrt{5184}}{54}

R = \frac{90\pm 54}{54}

R = 3 ou R=\frac13


Para R = 3 e as condições atendidas, teremos que:
\left\{
\begin{matrix}
   a &= &9 \\
   b &= &27 \\
   c &= &81
\end{matrix}
\right.


Para R = \frac13:

\left\{
\begin{matrix}
   a &= &81 \\
   b &= &27 \\
   c &= &9
\end{matrix}
\right.


Caso tenham outra resolução, comentários ou correções, escrevam.
Espero ter ajudado.
Fábio Sousa
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Re: PG - PA

Mensagempor kotta » Sáb Fev 02, 2008 20:35

Olá, uma nova questão de PA E PG, não estou conseguindo ver uma maneira direta pra resolver.
Estava pensando em encontrar o valor de com o valor da razão que foi dado, mas simplesmente não consigo. A questão é a seguinte.
(UFMG - 2002) Os números a,b, c, nessa ordem estão em progressão geométrica de razão \frac{4}{3}. Além disso, a-1, b, c, nessa ordem, estão em progressão aritmética a, b, c.

Eu estava tentando resolver assim:
R=\frac{b}{a}= \frac{b}{c}
[tex]\frac{4}{3}=\frac{a*r}{a}
e lembrando da teoria de PG que diz: b=a*r

mas qdo vou resolver nada.
\frac{4}{3}= \frac{b}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*r}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*4/3}{a}
simplifico, cortando a com a e fico com valores que eu ja tenho, ou seja, r=\frac{4}{3}e volto a ficar sem saber o valor de a.
Será que podem me ajudar?
Estou completamente perdida com a mtemática, e isso é só o começo. rsrs

Abs.
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Re: PG - PA

Mensagempor fabiosousa » Dom Fev 03, 2008 00:08

Olá kotta.
É importante comentar as tentativas, mesmo que não tenham sido produtivas.

Resolvi o exercício no papel, mas antes de postar aqui, seguem algumas dicas:

1) Como a razão da P.G. é dada, você já pode escrever os 3 termos desta P.G. em função de a, ou seja:
P.G. \left\{ a, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

2) Analogamente, faça o mesmo para a P.A:
P.A. \left\{ a-1, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

3) Agora, para resolver, note o seguinte:
Na P.G., a razão é um valor constante, sendo o quociente entre um termo e seu antecessor.
Já na P.A., a razão também é constante, sendo a diferença entre um termo e seu antecessor.
Então, aplique este conceito de razão de P.A. à nossa P.A. acima, igualando a diferença do segundo termo pelo primeiro, com a diferença do terceiro pelo segundo termo.
Fazendo assim, nesta igualdade, você terá uma equação do primeiro grau, com uma única variável que é exatamente o primeiro termo a, e você poderá encontrá-lo.
Conseqüentemente, poderá substituí-lo para encontrar b e c que estão em função de a.

Você deve encontrar estes valores:
a=9, b=12 e c=16.
Nota: para conferir, teste os valores e verá que satisfazem as progressões citadas.
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Re: PG - PA

Mensagempor fabiosousa » Dom Fev 03, 2008 00:42

Como os comentários se anteciparam, segue a resolução com poucas palavras:

Do enunciado, temos as seguintes progressões:
P.G. \left\{ a, b, c \right\} (com razão \frac43)

P.A. \left\{ a-1, b, c \right\} (a razão ainda não sabemos)


O primeiro passo é reescrever a progressão geométrica, considerando a razão informada:
b = \frac{4a}{3}

c = \frac{16a}{9}

P.G. \left\{ a, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

Utilizando então b e c em função de a, também reescrevemos a progressão aritmética:
P.A. \left\{ a-1, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

Seja r a razão da P.A., então:
r = \frac{4a}{3} - (a-1)

E também:
r = \frac{16a}{9} - \frac{4a}{3}

Daqui, obtemos que:
\frac{4a}{3} - (a-1) = \frac{16a}{9} - \frac{4a}{3}

\frac{4a}{3} - a + 1 = \frac{16a - 12a}{9}

\frac{a}{3} + 1 = \frac{4a}{9}

\frac{4a - 3a}{9} = 1

\frac{a}{9} = 1

a = 9

Logo:
b = \frac{4a}{3} = \frac{4\cdot 9}{3} = 12

c = \frac{16a}{9} =  \frac{16 \cdot 9}{9} = 16

E apenas para citar, como já encontramos para resolver, a razão da P.A. é r = 4.
Cuidado na conferência, porque o primeiro termo é a-1.


Espero ter ajudado, e como sempre, caso tenham algum comentário ou complemento, escrevam.
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Re: PG - PA

Mensagempor kotta » Dom Fev 03, 2008 14:58

Valeu Fábio, muito obrigada.
Estava ficando travada na hora de resolver pq estava tentando resolver pela PG. Agora vou refazer meus calculos.
Você está me ajudando muito.
Grande abraço.
Kenia
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?