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PG - PA

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Mensagempor kotta » Qui Jan 31, 2008 13:11

Olá, poderia me ajudar com este exercício?
(UFMG-97- ADAPTADA)Três números reais positivos a,b, c satisfazem o sistema abc={3}^{9}[/tex]
a+b+c=117[/tex]

Além disso, eles estão em progressão geometrica, isto é, existe um número real R tal que b+aR e c=bR.
Determine todos os possíveis valores de R e os correspondentes valores de a,b,c.
kotta
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Re: PG - PA

Mensagempor fabiosousa » Qui Jan 31, 2008 18:39

Condições:
a,b,c \in \Re

a,b,c > 0

\left\{
\begin{matrix}
   abc   &= &3^9 &(I) \\ 
   a+b+c &= &117 &(II)
\end{matrix}
\right.

a,b,c estão em progressão geométrica, com razão R \in \Re:
b=aR

c=bR

Vamos reescrever o sistema de equações, utilizando a informação sobre P.G.:
\left\{
\begin{matrix}
   a\cdot aR \cdot bR   &= &3^9 \\
   a+aR+bR &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   a\cdot aR \cdot aRR   &= &3^9 \\
   a+aR+aRR &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   a^3\cdot R^3 &= &3^9 \\
   aR^2+aR+a &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   (aR)^3 &= &(3^3)^3 \\
   a(R^2+R+1) &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   aR &= &27 &(III)\\
   a(R^2+R+1) &= &117 &(IV)
\end{matrix}
\right.

agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas


De (III):

a= \frac{27}{R}

Substituindo em (IV):

\frac{27}{R}(R^2+R+1) = 117

27R^2+27R+27 = 117R

27R^2+27R+27 - 117R = 0

27R^2-90R+27 = 0

Vamos resolver esta equação do segundo grau:
\Delta = (-90)^2 -4\cdot 27 \cdot 27

\Delta = 8100 - 2916 = 5184

R = \frac{90\pm \sqrt{5184}}{54}

R = \frac{90\pm 54}{54}

R = 3 ou R=\frac13


Para R = 3 e as condições atendidas, teremos que:
\left\{
\begin{matrix}
   a &= &9 \\
   b &= &27 \\
   c &= &81
\end{matrix}
\right.


Para R = \frac13:

\left\{
\begin{matrix}
   a &= &81 \\
   b &= &27 \\
   c &= &9
\end{matrix}
\right.


Caso tenham outra resolução, comentários ou correções, escrevam.
Espero ter ajudado.
Fábio Sousa
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Re: PG - PA

Mensagempor kotta » Sáb Fev 02, 2008 20:35

Olá, uma nova questão de PA E PG, não estou conseguindo ver uma maneira direta pra resolver.
Estava pensando em encontrar o valor de com o valor da razão que foi dado, mas simplesmente não consigo. A questão é a seguinte.
(UFMG - 2002) Os números a,b, c, nessa ordem estão em progressão geométrica de razão \frac{4}{3}. Além disso, a-1, b, c, nessa ordem, estão em progressão aritmética a, b, c.

Eu estava tentando resolver assim:
R=\frac{b}{a}= \frac{b}{c}
[tex]\frac{4}{3}=\frac{a*r}{a}
e lembrando da teoria de PG que diz: b=a*r

mas qdo vou resolver nada.
\frac{4}{3}= \frac{b}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*r}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*4/3}{a}
simplifico, cortando a com a e fico com valores que eu ja tenho, ou seja, r=\frac{4}{3}e volto a ficar sem saber o valor de a.
Será que podem me ajudar?
Estou completamente perdida com a mtemática, e isso é só o começo. rsrs

Abs.
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Re: PG - PA

Mensagempor fabiosousa » Dom Fev 03, 2008 00:08

Olá kotta.
É importante comentar as tentativas, mesmo que não tenham sido produtivas.

Resolvi o exercício no papel, mas antes de postar aqui, seguem algumas dicas:

1) Como a razão da P.G. é dada, você já pode escrever os 3 termos desta P.G. em função de a, ou seja:
P.G. \left\{ a, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

2) Analogamente, faça o mesmo para a P.A:
P.A. \left\{ a-1, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

3) Agora, para resolver, note o seguinte:
Na P.G., a razão é um valor constante, sendo o quociente entre um termo e seu antecessor.
Já na P.A., a razão também é constante, sendo a diferença entre um termo e seu antecessor.
Então, aplique este conceito de razão de P.A. à nossa P.A. acima, igualando a diferença do segundo termo pelo primeiro, com a diferença do terceiro pelo segundo termo.
Fazendo assim, nesta igualdade, você terá uma equação do primeiro grau, com uma única variável que é exatamente o primeiro termo a, e você poderá encontrá-lo.
Conseqüentemente, poderá substituí-lo para encontrar b e c que estão em função de a.

Você deve encontrar estes valores:
a=9, b=12 e c=16.
Nota: para conferir, teste os valores e verá que satisfazem as progressões citadas.
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Re: PG - PA

Mensagempor fabiosousa » Dom Fev 03, 2008 00:42

Como os comentários se anteciparam, segue a resolução com poucas palavras:

Do enunciado, temos as seguintes progressões:
P.G. \left\{ a, b, c \right\} (com razão \frac43)

P.A. \left\{ a-1, b, c \right\} (a razão ainda não sabemos)


O primeiro passo é reescrever a progressão geométrica, considerando a razão informada:
b = \frac{4a}{3}

c = \frac{16a}{9}

P.G. \left\{ a, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

Utilizando então b e c em função de a, também reescrevemos a progressão aritmética:
P.A. \left\{ a-1, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

Seja r a razão da P.A., então:
r = \frac{4a}{3} - (a-1)

E também:
r = \frac{16a}{9} - \frac{4a}{3}

Daqui, obtemos que:
\frac{4a}{3} - (a-1) = \frac{16a}{9} - \frac{4a}{3}

\frac{4a}{3} - a + 1 = \frac{16a - 12a}{9}

\frac{a}{3} + 1 = \frac{4a}{9}

\frac{4a - 3a}{9} = 1

\frac{a}{9} = 1

a = 9

Logo:
b = \frac{4a}{3} = \frac{4\cdot 9}{3} = 12

c = \frac{16a}{9} =  \frac{16 \cdot 9}{9} = 16

E apenas para citar, como já encontramos para resolver, a razão da P.A. é r = 4.
Cuidado na conferência, porque o primeiro termo é a-1.


Espero ter ajudado, e como sempre, caso tenham algum comentário ou complemento, escrevam.
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Re: PG - PA

Mensagempor kotta » Dom Fev 03, 2008 14:58

Valeu Fábio, muito obrigada.
Estava ficando travada na hora de resolver pq estava tentando resolver pela PG. Agora vou refazer meus calculos.
Você está me ajudando muito.
Grande abraço.
Kenia
kotta
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: