Áreas de superfícies planas

por **andersontricordiano** » Dom Mar 13, 2011 02:34

Os moradores de um condomínio pretendiam construir um enfeite natalino que consistiria de um painel colorido circundado por um cordão de lâmpadas.
Inicialmente projetou-se um formato de triângulo eqüilátero e foi construído o apoio do cordão da base.
Utilizou-se a base já construída,e a altura do painel foi duplicada, ficando este com o formato de um triângulo isósceles.
Qual foi o percentual de acréscimo observado em relação ao projeto original:

a)Quanto ao comprimento do cordão?
b)Quanto à área do painel?

Detalhes as respostas são:

a)53,5% aproximadamente
b)100%

Obrigado quem me ajudar a resolver esse calculo!

por **MarceloFantini** » Dom Mar 13, 2011 03:53

Se fosse um triângulo equilátero de lado $\ell$ , a altura seria $h = \frac{\ell \sqrt{3}}{2}$ e a área $A = \frac{\ell \sqrt{3}}{4}$ . Dobrando sua altura, ficamos com $h_1 = \frac{2 \ell \sqrt{3}}{2}$ , logo, h_1 = 2h

e sua nova área $A_1 = \frac{2 \ell \sqrt{3}}{4} = 2A$ . Assim, é fácil ver que a área aumentou 100%. Vamos ao comprimento:

O lado esticado continua formando um triângulo retângulo com a nova altura e a base, portanto usando o teorema de pitágoras:

$L^2 = \frac{12\ell^2}{4} + \frac{\ell^2}{4} \Rightarrow L^2 = \frac{13 \ell^2}{4} \Rightarrow L = \frac{\ell \sqrt{13}}{2}$

Logo, o novo perímetro é $P_1 = \ell \sqrt{13} + \ell = \ell ( 1 + \sqrt{13})$ , o perímetro antigo é $P = 3 \ell$ . Fazendo a razão:

$\frac{P_1}{P} = \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \approx 1,535 \Rightarrow P_1 = 1,535 P$ , mostrando assim que o novo perímetro aumentou de 53,5%.

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