Raios do círculo:
![OB = OE = OF = 1 OB = OE = OF = 1](/latexrender/pictures/7fdd0bbc679b634381cef544e647e451.png)
Aplicação direta do teorema de Pitágoras:
![sen^2 x+cos^2 x = 1 sen^2 x+cos^2 x = 1](/latexrender/pictures/3077ff2f3e43dd3370d449b1540983ee.png)
![sec^2 x = tg^2 x + 1 sec^2 x = tg^2 x + 1](/latexrender/pictures/5781753b58b299ac8f64f97ecf627cbc.png)
![cosec^2 x = cotg^2 x + 1 cosec^2 x = cotg^2 x + 1](/latexrender/pictures/5e6b560aa7d79dc9569e01d659f9d729.png)
Obtemos a tangente a partir da semelhança entre os triângulos OAF e OBC, pelo caso ângulo-ângulo:
![\frac{AF}{OA} = \frac{BC}{OB} \frac{AF}{OA} = \frac{BC}{OB}](/latexrender/pictures/894b2fab28ee8d50fab22a61bc63c013.png)
![\frac{sen x}{cos x} = \frac{tg x}{1} \frac{sen x}{cos x} = \frac{tg x}{1}](/latexrender/pictures/79ceffffe31148892da9fa9880ebe9ec.png)
![tg x = \frac{sen x}{cos x} tg x = \frac{sen x}{cos x}](/latexrender/pictures/85b2986aa6fd03dbe52cf8433feefd49.png)
A secante, também por semelhança entre os mesmos triângulos:
![\frac{OC}{OF} = \frac{OB}{OA} \frac{OC}{OF} = \frac{OB}{OA}](/latexrender/pictures/8bb06928497025c904a26b48898d9b89.png)
![\frac{sec x}{1} = \frac{1}{cos x} \frac{sec x}{1} = \frac{1}{cos x}](/latexrender/pictures/fc0ca3e83b9f25678cf89ca9feb1af9c.png)
![sec x = \frac{1}{cos x} sec x = \frac{1}{cos x}](/latexrender/pictures/fdf1bab1504ffbd8088cfe2ffcc3dd5c.png)
Já a cotangente, por semelhança entre os triângulos OED e OAF, também pelo caso AA pois o ângulo
![O\hat{D}E = x O\hat{D}E = x](/latexrender/pictures/fb7061978d857440c93401f3a8a9b01a.png)
![\frac{ED}{OA} = \frac{OE}{AF} \frac{ED}{OA} = \frac{OE}{AF}](/latexrender/pictures/7df7d369dccbc750e1d9eb6df36b37ed.png)
![\frac{cotg x}{cos x} = \frac{1}{sen x} \frac{cotg x}{cos x} = \frac{1}{sen x}](/latexrender/pictures/e7fe27252b972b3372cb4bb8f8273718.png)
![cotg x = \frac{cos x}{sen x} cotg x = \frac{cos x}{sen x}](/latexrender/pictures/f05130a494e426d5493d7eecb58de1b9.png)
E a cosecante, também por semelhança entre os triângulos OED e OAF, segue diretamente desta relação:
![\frac{OD}{OF} = \frac{OE}{AF} \frac{OD}{OF} = \frac{OE}{AF}](/latexrender/pictures/d94f2e6b4e75462fb32f7940a2212e9b.png)
![\frac{cosec x}{1} = \frac{1}{sen x} \frac{cosec x}{1} = \frac{1}{sen x}](/latexrender/pictures/d67444636c82ce75cdebc9b86e9fd3ba.png)
![cosec x = \frac{1}{sen x} cosec x = \frac{1}{sen x}](/latexrender/pictures/04a1bf57a598630cec205a98b08a0e66.png)