Cães conhecem Cálculo?

por **Molina** » Sáb Jul 19, 2008 16:32

Um pesquisador fez o seguinte experimento com seu cão:
Localizado num ponto A, ao lado de seu cão e na margem de um rio de 10 metros de largura, o pesquisador lança um disco na margem oposta desse rio, num ponto B, localizado a uma distância de 100 metros do ponto A (medida paralelamente à margem do rio). O cão então segue em busca do disco, percorrendo uma parte do trajeto por terra e a uma valocidade ${V}_{T}=10 m/s$ e mergulhando no rio num ponto C, percorrendo outra parte do trajeto na água com velocidade ${V}_{A}=4 m/s$ . Medindo a distância entre A e C, ele encontrou 96m.
Mais tarde, calculando a que distância do ponto A o cão deveria pular na água afim de que o tempo para chegar até o disco fosse minimizado, o pesquisador encontrou um resultado surpriendente:

Fazendo um esboço do problema, temos:
Imagem

onde a linha em vermelho foi o trajeto percorrido pelo cão.

O tempo gasto em terra é: ${t}_{T}=\frac{{S}_{T}}{{V}_{T}}=\frac{100-x}{10}=10-\frac{1x}{10}$

O tempo gasto na água é: ${t}_{A}=\frac{{S}_{A}}{{V}_{A}}=\frac{\sqrt[]{100+{x}^{2}}}{4}$

O tempo total é uma função de x: $t(x)={t}_{T}+{t}_{A}=10-\frac{1x}{10}+\frac{\sqrt[]{100+{x}^{2}}}{4}$

Era necessário encontrar o ponto de mínimo absoluto dessa função, ou seja, o ponto em que o cão pulou na água realizando o menor tempo possível. Para isso, deriva-se a função:
$t'(x)=-\frac{1}{10}+\frac{x}{4\sqrt[2]{100+{x}^{2}}}$

Para saber o mínimo absoluto a derivada tem que ser igual a ZERO, logo:
$t'(x)=0\Rightarrow-\frac{1}{10}+\frac{x}{4\sqrt[2]{100+{x}^{2}}}=0\Rightarrow\frac{1}{10}=\frac{x}{4\sqrt[2]{100+{x}^{2}}}\Rightarrow x=\frac{20}{\sqrt[]{21}}$

Este é um ponto de mínimo local e absoluto, pois a t``(x)

(segunda derivada) é igual a $\frac{25}{{(100+{x}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ que é maior que ZERO $\forall x\in R$ . Logo o gráfico é côncavo para cima e no ponto $x=\frac{20}{\sqrt[]{21}}$ ocorre t'(x)=0

, o que garante que $x=\frac{20}{\sqrt[]{21}}$ é o ponto onde ocorre o valor mínimo absoluto.

Agora o mais impressionante:
$\frac{20}{\sqrt[]{21}}=4,364357...$

$100-4,364357...=95,635664...\approx96$

:idea: