Prova do Teeste de concavidade

[ericbarboza]

Olá, eu estava estudando os passos para a formação de gráficos e percebí que não há uma prova para o teste de concavidade. Gostaria de saber se há uma prova formal para esse teste.
Desde já agradeço.

[Molina]

Boa noite.

Não sei se é isso que você estava buscando, mas através de derivadas você pode ver se a curva é voltada para baixo ou para cima:

Seja a segunda derivada da função .

Se a concavidade da curva está voltada para cima.

Se a concavidade da curva está voltada para baixo.


Qualquer dúvida informe.

Bom estudo!

[ericbarboza]

Não era isso que eu tava querendo..
Acho que isso é uma definição para quando ocorre concavidade para cima e para baixo.
Gostaria justamente a prova do porque que isso ocorre.

att.

[MarceloFantini]

Não sei se há uma prova ou não, mas se é por definição acredito que não. Talvez pensar que como derivada é a reta tangente, a segunda derivada é a reta da tangente da função que é tangente à uma outra função dada, explicando os testes, mas não é uma prova.

[Douglasm]

Olá ericbarboza. Não sei se lhe satisfaz, mas inicialmente (como disse o Fantini) a segunda devirada irá nos dar o coeficiente angular das retas de f'(x). Caso estas possuam coeficiente angular positivo, são crescentes e, evidentemente, a concavidade é voltada para cima. Raciocínio análogo ocorre caso o coeficiente seja negativo. Aqui tem um desenho:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/maxmin/mm03.htm

Até a próxima.