Algebra Linear - Espaço Vetorial

por **Nillcolas** » Qua Mar 16, 2011 17:05

Boa tarde.

Andei pesquisando por ae nao consegui encontrar uma resposta pra minha duvida nessa questão:

Seja V = R2. Se u = (x1; x2) pertence V e v = (y1; y2) pertence V , então V , com as
operações de adição u + v = (3x2 + 3y2; -x1 - y1) e multiplicação por escalar
u = (3x2; -\alphax1), é um espaço vetorial sobre R?

Aqui, pelo que eu entendi, ele definiu as operações usuais de adição e multiplicação como:

Adição: u + v = (3x2 + 3y2; -x1 - y1)
Multiplicação: u = (3x2; -\alphax1)

Tentei resolver, porém achei a solução meio estranha. Descrevo abaixo:

u = (x1, x2) ; v = (y1 , y2)
u + v = (3x2 + 3y2; -x1 - y1)
(x1, x2) + (y1 , y2) = (3x2 + 3y2; -x1 - y1)
(x1 + y1, x2 + y2) = (3x2 + 3y2; -x1 - y1)

Daí formei um sistema (pra tentar provar a igualdade),

I) x1 + y1 = 3x2 + 3y2
II) x2 + y2 = -x1 - y1

II) x1+y1= -x2-y2

Substituindo II) na I), ficou:

I) -x2-y2 = 3x2 + 3y2 => -x2 = y2

Substituindo o resultado obtido de I) em II), ficou:

II) x1 + y1 = -x2-y2 => x1 = -y1

E por fim, substitui os valores no sistema e obtive: I) 0=0 ; II) 0=0

Com a operação de multiplicação fiz do mesmo jeito, porém a igualdade não foi satisfeita. Minha resposta final entao seria que V não é espaço vetorial. É assim que resolve uma questao onde o enunciado define as operações usuais?

Aguardando resposta e agradecendo logo tambem. xD

por **LuizAquino** » Qua Mar 16, 2011 17:31

Nillcolas escreveu:Seja $V = \mathbb{R}^2$ . Se $u = (x_1;\, x_2)$ pertence V e $v = (y_1;\, y_2)$ pertence V, então V, com as
operações de adição e multiplicação por escalar $\alpha u = (3 x_2; -\alpha x_1)$ , é um espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$ ?

Para provar que V é um espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$ você precisa provar que são válidas todas as propriedades abaixo:
(i) (Associativa) (u + v) + w = u + (v + w) e (km)v = k(mv), para todo u, v e w em V e k e m em $\mathbb{R}$ .
(ii) (Comutativa) u+v=v+u, para todo v e u em V.
(iii) (Elemento neutro da soma) Existe um elemento n em V tal que v+n=v para todo v em V.
(iv) (Elemento neutro da multiplicação por escalar) Existe um elemento k em $\mathbb{R}$ tal que kv=v para todo v em V.
(v) (Distributiva) k(u + v) = ku + kv e (k+m)w = kw + mw para todo u, v e w em V e k e m em $\mathbb{R}$ .

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