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Ajuda urgente para aula particular

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Ajuda urgente para aula particular

Mensagempor claudionr » Qui Nov 27, 2008 03:46

Caros colegas e amigos da area, sou professor de Matemática e estou com dúvida nesses 5 exercícios, devido a fazer muito tempo que não trabalho nesta matéria. Poderiam me ajudar a resolvê-los o mais rápido possível, porque darei aula para um aluno que esta com grande dificuldade.
1) Encontre as dimensões de um cilindro circular reto, de área total igual a 50 cm2, de modo que o volume seja máximo.

2) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375? cm3. O custo do material usado para a base do recipiente é de R$ 0,15 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R$ 0,05 por cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material para construí-lo.

3) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2.000 a oeste da central. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto que em terra custa R$ 312,00 por metro. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável?

4) A rapidez com que um boato se espalha em uma comunidade é proporcional ao produto do número de pessoas que já ouviram o boato pelo número de pessoas que ainda não o ouviram. Mostre que a rapidez é máxima no instante em que metade das pessoas ainda não ouviu o boato.

5) Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t3– 10,5 t2 +30 t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?
Fico no aguardo, e se possível pode me enviar a resposta para meu e-mail, pois a aula que darei será no dia 27/11/2008, ou seja, estou um pouco apavorado:
braescher@w3tech.com.br
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Re: Ajuda urgente para aula particular

Mensagempor Neperiano » Sáb Ago 20, 2011 22:54

Ola

Você vai tenque usar cálculo I para resolver, é necessário a utilização de derivadas

Atenciosamente
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Neperiano
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}