Princípio das gavetas

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Princípio das gavetas

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Dentre os materiais, organizados por disciplinas, você encontrará:
Provas aplicadas, notas de aulas, listas de exercícios, gabaritos e bibliografias, além de outros materiais indicados ou fornecidos pelos próprios professores.
A fonte e os créditos do autor devem ser citados sempre que disponíveis.

O intuito deste compartilhamento é favorecer um estudo complementar.

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Princípio das gavetas

Mensagempor Paulo Hamilton » Sex Set 23, 2011 17:43

Considere 25 pontos em um plano de forma que para cada 3 pontos quaisquer, dentre os 25, pelo menos um par deles possui distância menor que 1 cm. Mostre que existe um círculo de raio 1 cm que contém pelo menos 13 dos 25 pontos.

Cheguei a estas conclusões e gostaria de saber se estão corretas.

I) Se para cada 3 pontos, TODOS distam menos de 1 cm entre si, tomando um desses pontos como centro de um círculo de raio 1 cm. Logo, todos os pontos pertencem a este círculo.

II) Existe um trio de pontos A, B, C tal que dois deles, digamos, A e B, tal que d(A,B) > 1.
Considere dois círculos, C(A) e C(B), cujos centros são A e B respectivamente.
Para cada ponto X diferente de A e B, X pertence a C(A) ou C(B).
23 pontos possíveis para X, dois círculos, casa dos pombos, resultando em no mínimo 13 pontos em um círculo (não esqueça do centro do círculo).
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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