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[Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

MAT0134
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[Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor ewald » Ter Abr 03, 2012 23:31

Ok estou com muita dificuldade de fazer a alternativa "c" desta questao alguem pode me ajudar, talvez uma SUPER dica quem sabe.

8. Considere os vetores x1 = (1, 1, 1)T e x2 = (3, -1, 4)T.

(a) x1 e x2 geram R3? Explique.
(b) Seja x3 um terceiro vetor em R3 e defina X = {x1, x2, x3}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que x1, x2, x3 formem uma base para R3?
(c) Encontre um terceiro vetor x3 que estenda o conjunto {x1, x2} a uma base para R3.

Obs.: o T depois dos vetores é pra indicar que é o vetor transposto.
ewald
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Re: [Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor MarceloFantini » Qua Abr 04, 2012 00:24

Ewald, por favor use LaTeX, veja a regra número 2 do fórum. Sobre a questão, qual foi a sua resposta para o item b?
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Re: [Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor ewald » Qua Abr 04, 2012 14:26

MarceloFantini escreveu:Ewald, por favor use LaTeX, veja a regra número 2 do fórum. Sobre a questão, qual foi a sua resposta para o item b?

Ok, como era pouca coisa que precisava botar pelo latex eu achei que nao faria muita diferença, mas ja que insiste...

8. Considere os vetores {x}_{1} = {(1, 1, 1)}^{T} e {x}_{2} = {(3, -1, 4)}^{T}

(a) {x}_{1} e {x}_{2} geram R³? Explique.
(b) Seja {x}_{3} um terceiro vetor em R³ e defina X = {{x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3}}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} formem uma base para R³?
(c) Encontre um terceiro vetor {x}_{3} que estenda o conjunto {{x}_{1},{x}_{2}} a uma base para R³.

Agora quanto minha resposta da alternativa "b":
R: X tem de ser linearmente independente e também tem de ser gerador do R³. (Sendo que no gabarito diz Linearmente independente e gerar R³)

Ta complementando um pouco, eu tentei fazer a "c" mostrando que os 3 vetores sao linearmente independentes (primeiramente) dizendo que o {x}_{3} é o vetor v=({v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}), montando entao uma matriz, escalonando ... enfim todo processo para provar que um conjunto de vetores sao L.I. e, no entanto, so consegui muitas variaveis e nenhuma resposta.

Obs.: Tentei tambem mostrar que gera o R³, mas , de novo, so consegui muitas variaveis.

Bem é isso.
ewald
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Re: [Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor LuizAquino » Qua Abr 04, 2012 17:50

ewald escreveu:8. Considere os vetores {x}_{1} = {(1, 1, 1)}^{T} e {x}_{2} = {(3, -1, 4)}^{T}

(a) {x}_{1} e {x}_{2} geram R³? Explique.
(b) Seja {x}_{3} um terceiro vetor em R³ e defina X = {{x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3}}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} formem uma base para R³?
(c) Encontre um terceiro vetor {x}_{3} que estenda o conjunto {{x}_{1},{x}_{2}} a uma base para R³.


ewald escreveu:Ta complementando um pouco, eu tentei fazer a "c" mostrando que os 3 vetores sao linearmente independentes (primeiramente) dizendo que o {x}_{3} é o vetor v=({v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}), montando entao uma matriz, escalonando ... enfim todo processo para provar que um conjunto de vetores sao L.I. e, no entanto, so consegui muitas variaveis e nenhuma resposta.

Obs.: Tentei tambem mostrar que gera o R³, mas , de novo, so consegui muitas variaveis.


Para que \{\vec{x}_{1},\, \vec{x}_{2},\, \vec{x}_3 \} seja uma base para \mathbb{R}^3, você já sabe que esse conjunto deve ser L. I. e gerar \mathbb{R}^3 .

Basta então encontrar (ou escolher) um vetor \vec{x}_3 tal que aquele conjunto seja L. I. e gere \mathbb{R}^3 .

Note que temos infinitas escolhas. Uma das mais simples é escolher \vec{x}_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T .

Agora verifique que com essa escolha temos de fato uma base para \mathbb{R}^3 .

Observação

Quando falamos de "transposta", estamos tipicamente nos referindo a matriz. Para representar a transposta de uma matriz de uma linha e três colunas, usamos uma das seguintes notações:

(i) \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}^T

(ii) \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}^T

Note que na sua escrita você colocou uma vírgula (",") entre os elementos da matriz. Mas isso não é o padrão. Você deve escrever sem essas vírgulas.
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Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
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Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59