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[Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

MAT0134
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  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

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    Bons estudos!

[Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor ewald » Ter Abr 03, 2012 23:31

Ok estou com muita dificuldade de fazer a alternativa "c" desta questao alguem pode me ajudar, talvez uma SUPER dica quem sabe.

8. Considere os vetores x1 = (1, 1, 1)T e x2 = (3, -1, 4)T.

(a) x1 e x2 geram R3? Explique.
(b) Seja x3 um terceiro vetor em R3 e defina X = {x1, x2, x3}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que x1, x2, x3 formem uma base para R3?
(c) Encontre um terceiro vetor x3 que estenda o conjunto {x1, x2} a uma base para R3.

Obs.: o T depois dos vetores é pra indicar que é o vetor transposto.
ewald
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Re: [Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor MarceloFantini » Qua Abr 04, 2012 00:24

Ewald, por favor use LaTeX, veja a regra número 2 do fórum. Sobre a questão, qual foi a sua resposta para o item b?
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Re: [Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor ewald » Qua Abr 04, 2012 14:26

MarceloFantini escreveu:Ewald, por favor use LaTeX, veja a regra número 2 do fórum. Sobre a questão, qual foi a sua resposta para o item b?

Ok, como era pouca coisa que precisava botar pelo latex eu achei que nao faria muita diferença, mas ja que insiste...

8. Considere os vetores {x}_{1} = {(1, 1, 1)}^{T} e {x}_{2} = {(3, -1, 4)}^{T}

(a) {x}_{1} e {x}_{2} geram R³? Explique.
(b) Seja {x}_{3} um terceiro vetor em R³ e defina X = {{x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3}}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} formem uma base para R³?
(c) Encontre um terceiro vetor {x}_{3} que estenda o conjunto {{x}_{1},{x}_{2}} a uma base para R³.

Agora quanto minha resposta da alternativa "b":
R: X tem de ser linearmente independente e também tem de ser gerador do R³. (Sendo que no gabarito diz Linearmente independente e gerar R³)

Ta complementando um pouco, eu tentei fazer a "c" mostrando que os 3 vetores sao linearmente independentes (primeiramente) dizendo que o {x}_{3} é o vetor v=({v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}), montando entao uma matriz, escalonando ... enfim todo processo para provar que um conjunto de vetores sao L.I. e, no entanto, so consegui muitas variaveis e nenhuma resposta.

Obs.: Tentei tambem mostrar que gera o R³, mas , de novo, so consegui muitas variaveis.

Bem é isso.
ewald
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Re: [Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor LuizAquino » Qua Abr 04, 2012 17:50

ewald escreveu:8. Considere os vetores {x}_{1} = {(1, 1, 1)}^{T} e {x}_{2} = {(3, -1, 4)}^{T}

(a) {x}_{1} e {x}_{2} geram R³? Explique.
(b) Seja {x}_{3} um terceiro vetor em R³ e defina X = {{x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3}}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} formem uma base para R³?
(c) Encontre um terceiro vetor {x}_{3} que estenda o conjunto {{x}_{1},{x}_{2}} a uma base para R³.


ewald escreveu:Ta complementando um pouco, eu tentei fazer a "c" mostrando que os 3 vetores sao linearmente independentes (primeiramente) dizendo que o {x}_{3} é o vetor v=({v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}), montando entao uma matriz, escalonando ... enfim todo processo para provar que um conjunto de vetores sao L.I. e, no entanto, so consegui muitas variaveis e nenhuma resposta.

Obs.: Tentei tambem mostrar que gera o R³, mas , de novo, so consegui muitas variaveis.


Para que \{\vec{x}_{1},\, \vec{x}_{2},\, \vec{x}_3 \} seja uma base para \mathbb{R}^3, você já sabe que esse conjunto deve ser L. I. e gerar \mathbb{R}^3 .

Basta então encontrar (ou escolher) um vetor \vec{x}_3 tal que aquele conjunto seja L. I. e gere \mathbb{R}^3 .

Note que temos infinitas escolhas. Uma das mais simples é escolher \vec{x}_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T .

Agora verifique que com essa escolha temos de fato uma base para \mathbb{R}^3 .

Observação

Quando falamos de "transposta", estamos tipicamente nos referindo a matriz. Para representar a transposta de uma matriz de uma linha e três colunas, usamos uma das seguintes notações:

(i) \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}^T

(ii) \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}^T

Note que na sua escrita você colocou uma vírgula (",") entre os elementos da matriz. Mas isso não é o padrão. Você deve escrever sem essas vírgulas.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D