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subespaço vetorial

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subespaço vetorial

Mensagempor Neta Silva » Sex Mar 14, 2014 20:51

Mostrar que W = \{ (ax^2+bx+c) \in P_{2}; c=2a+b \} é um subespaço vetorial de P_2, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2.
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Re: subespaço vetorial

Mensagempor Pessoa Estranha » Sex Mar 14, 2014 21:49

Olá!

Bem, para mostrar que um conjunto é um subespaço vetorial, basta verificar que as três propriedades que um subespaço estão satisfeitas no conjunto em questão. Gostaria de ajudar, mas o exercício parece um pouco difícil; então, podemos ir discutindo o problema para chegarmos à uma resposta. :)

Vamos verificar as seguintes propriedades:

a) W tem elemento neutro (mostrar);

Seja y \in W. Daí, y é da forma y = a{x}^{2}+bx+c, onde c = 2a + b. Queremos saber se 0 \in W. Para tanto, temos que verificar se y + 0 = y. Assim, consideremos 0 = 0{x}^{2}+0x+0. Então, podemos partir então para a próxima etapa:

y + 0 = (a{x}^{2} + bx + c)+(0{x}^{2}+0x+0) = ((a{x}^{2})+(0{x}^{2}))+((bx)+(0x)) + ((c)+(0)) = (a({x}^{2})+0({x}^{2})) + (b(x)+0(x)) + ((c)+(0)) = ((a+0)({x}^{2})) + ((b+0)(x)) + (c+0) = a({x}^{2})+b(x)+c = a{x}^{2}+bx+c = y

Portanto, W apresenta elemento neutro.

Agora, temos que verificar se as duas próximas propriedades de um subespaço vetorial são satisfeitas por W.

b) tomados dois elementos de W, a soma deles pertence à W (isto é, temos que mostrar que se x1, x2 \in W, então (x1 + x2) \in W);

c) considerados \alpha \in \Re, y \in W, (\alpha y) \in W;

O que sugere para continuar com a resolução ?

Espero ter ajudado um pouco....
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Re: subespaço vetorial

Mensagempor Russman » Sex Mar 14, 2014 22:40

Perfeito. Você mostrou que W é um ESPAÇO vetorial, de fato. Agora, para mostrar que o mesmo é SUBespaço de P_2 precisamos mostrar que W \subseteq P_2.

Como P_2 = \left \{ (ax^2 + bx + c  ) | a,b,c \in\mathbb{R} \right \}, podemos tomar c=2a+b nesse espaço ( como a e b são reais,uma combinação linear deles também o é) e então este será confundido com W. Assim, podemos "achar" W "dentro" de P_2. Portanto, é subespaço.
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Re: subespaço vetorial

Mensagempor Pessoa Estranha » Sáb Mar 15, 2014 12:17

Estranho, pois aprendi que se verificarmos que W satisfaz aquelas três propriedades listadas, então é subespaço. Daí, uma vez que é subespaço, temos um resultado que garante que W é espaço vetorial.

Russman escreveu:Perfeito. Você mostrou que W é um ESPAÇO vetorial, de fato. Agora, para mostrar que o mesmo é SUBespaço de P_2 precisamos mostrar que W \subseteq P_2.

Como P_2 = \left \{ (ax^2 + bx + c  ) | a,b,c \in\mathbb{R} \right \}, podemos tomar c=2a+b nesse espaço ( como a e b são reais,uma combinação linear deles também o é) e então este será confundido com W. Assim, podemos "achar" W "dentro" de P_2. Portanto, é subespaço.


Por outro lado, para mostramos que W é espaço vetorial, então temos que verificar se W satisfaz oito propriedades do espaço vetorial, e não apenas três.

Talvez eu esteja confundido, mas acho que é assim....
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Re: subespaço vetorial

Mensagempor Pessoa Estranha » Sáb Mar 15, 2014 12:20

Ei! Vocês poderiam dar uma olhadinha no meu tópico de estruturas algébricas, sobre conjuntos limitados inferiormente? Por favor! :$
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Re: subespaço vetorial

Mensagempor Russman » Sáb Mar 15, 2014 12:31

Se for subespaço vetorial é obvio que deve ser também espaço vetorial.

O \mathbb{R}^3, por exemplo, satisfaz todos os requerimentos de espaço vetorial e não é subespaço de \mathbb{R}^2.
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}