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Quadrado Perfeito?

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A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.

Quadrado Perfeito?

Mensagempor Molina » Qui Nov 25, 2010 17:00

Boa tarde!

Encontrei este desafio pelos corredores da universidade e já aviso que não tenho a resposta. Então seria interessante debatermos sobre o problema, aí vai:

O número 111...10888...89 com n algarismos 1 e n algarismos 8 é um quadrado perfeito?

:idea:
*-)
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor victoreis1 » Qui Nov 25, 2010 18:13

3 x 3 = 09 (0 algarismos 1 e 0 algarismos 8)
33 x 33 = 1089 (1 algarismo 1 e 1 algarismo 8)
333 x 333 = 110889 (2 algarismos 2 e 2 algarismos 8)

333.. (n vezes 3) x 333.. (n vezes 3) = 11...088...9 (n-1 algarismos 1 e n-1 algarismos 8)

que tipo de prova ele pede; tem que usar aritmética modular, ou pode ser por indução mesmo?
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor Molina » Qui Nov 25, 2010 18:16

Ninguém pede nada, Victor.

Mas por ser n natural acredito que saia por indução mesmo...

:y:
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor Renato_RJ » Qui Jan 06, 2011 16:25

Se o problema é sobre quadrados perfeitos, acredito que tenhamos que utilizar congruência... Além de que, os quadrados perfeitos quando divididos por 3 ou 4 apresentam restos 1 ou 0.
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor Otavio Rubiao » Seg Fev 07, 2011 09:26

Se ainda estiverem interessados na resolução:

Escrevendo os termos do numero 111...1088...89 como a soma de outro numeros temos:

111..11000..00 onde (11...11) = n numeros e (000....000) = n + 2

888...880 onde (888...8) = n

percebemos que o primeiro e o segundo numeros podem ser escritos com a soma de uma PG:

1.10^n+2 + 10.10^n+2 + 100.10^n+2 +...+ 10^2n+1 = 10^n+2.(10^n - 1)/10 - 1
80 + 800 + 8000 +...+ 8.10^n = 80.( 10^n - 1)/10 - 1
9 = 9

logo: 1111...10888....89 = (10^2n+2 - 10^n+2 + 80.10^n - 80 + 81)/9 desenvolvendo :
111...10888...89 = ((10^n+1 - 1)/3)² C.Q.D
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor alessandro » Seg Abr 16, 2012 19:24

Fiz uma questão bem similar a essa, que vai te ajudar!!

Veja: http://www.4shared.com/office/7PCHO5pg/ ... m_qua.html
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor pedroaugustox47 » Sex Mai 11, 2012 16:28

simples representação decimal:
.
\frac{1111111...111111}{n.uns}0\frac{88888...88888}{n.oitos}9=
.
\left( \frac{10^n-1}{9} \right)\left(10^\left(n+2 \right) \right) + 8.\left(\frac{10^n-1}{9} \right).10 +9 =
.
\frac{\left(10^n \right)\left(10^\left(n+2 \right) \right)-\left(10^\left(n+2 \right) \right)}{9} + \frac{80.\left(10^n-1 \right)}{9}+ \frac{81}{9} =
.
\frac{\left[ 10^\left(2n+2 \right) \right] - \left[ 10^\left(n+2 \right) \right]+\left[80.10^n \right]+1}{9}=
.
\frac{\left[ \left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 \right] -100.10^n +80.10^n+1}{9}=
.
\frac{\left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 -20.10^n +1}{9}=
.
\frac{\left(10.10^n \right)^2 - 2.\left(10.10^n \right).1 +1^2}{9}=
.
\frac{\left(10.10^n-1 \right)^2}{9}=
.
\left( \frac{\left[10^\left(n+1 \right) \right]-1}{3} \right)^2 ...... C.Q.D
.
abraços :y:
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.