Quadrado Perfeito?

por **Molina** » Qui Nov 25, 2010 17:00

Boa tarde!

Encontrei este desafio pelos corredores da universidade e já aviso que não tenho a resposta. Então seria interessante debatermos sobre o problema, aí vai:

O número 111...10888...89 com n algarismos 1 e n algarismos 8 é um quadrado perfeito?

:idea:

por **victoreis1** » Qui Nov 25, 2010 18:13

3 x 3 = 09 (0 algarismos 1 e 0 algarismos 8)
33 x 33 = 1089 (1 algarismo 1 e 1 algarismo 8)
333 x 333 = 110889 (2 algarismos 2 e 2 algarismos 8)

333.. (n vezes 3) x 333.. (n vezes 3) = 11...088...9 (n-1 algarismos 1 e n-1 algarismos 8)

que tipo de prova ele pede; tem que usar aritmética modular, ou pode ser por indução mesmo?

por **Molina** » Qui Nov 25, 2010 18:16

Ninguém pede nada, Victor.

Mas por ser n natural acredito que saia por indução mesmo...

:y:

por **Renato_RJ** » Qui Jan 06, 2011 16:25

Se o problema é sobre quadrados perfeitos, acredito que tenhamos que utilizar congruência... Além de que, os quadrados perfeitos quando divididos por 3 ou 4 apresentam restos 1 ou 0.

por **Otavio Rubiao** » Seg Fev 07, 2011 09:26

Se ainda estiverem interessados na resolução:

Escrevendo os termos do numero 111...1088...89 como a soma de outro numeros temos:

111..11000..00 onde (11...11) = n numeros e (000....000) = n + 2

888...880 onde (888...8) = n

percebemos que o primeiro e o segundo numeros podem ser escritos com a soma de uma PG:

1.10^n+2 + 10.10^n+2 + 100.10^n+2 +...+ 10^2n+1 = 10^n+2.(10^n - 1)/10 - 1
80 + 800 + 8000 +...+ 8.10^n = 80.( 10^n - 1)/10 - 1
9 = 9

logo: 1111...10888....89 = (10^2n+2 - 10^n+2 + 80.10^n - 80 + 81)/9 desenvolvendo :
111...10888...89 = ((10^n+1 - 1)/3)² C.Q.D

por **alessandro** » Seg Abr 16, 2012 19:24

Fiz uma questão bem similar a essa, que vai te ajudar!!

Veja: http://www.4shared.com/office/7PCHO5pg/ ... m_qua.html

por **pedroaugustox47** » Sex Mai 11, 2012 16:28

simples representação decimal:
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$\frac{1111111...111111}{n.uns}0\frac{88888...88888}{n.oitos}9=$
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$\left( \frac{10^n-1}{9} \right)\left(10^\left(n+2 \right) \right) + 8.\left(\frac{10^n-1}{9} \right).10 +9 =$
.
$\frac{\left(10^n \right)\left(10^\left(n+2 \right) \right)-\left(10^\left(n+2 \right) \right)}{9} + \frac{80.\left(10^n-1 \right)}{9}+ \frac{81}{9} =$
.
$\frac{\left[ 10^\left(2n+2 \right) \right] - \left[ 10^\left(n+2 \right) \right]+\left[80.10^n \right]+1}{9}=$
.
$\frac{\left[ \left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 \right] -100.10^n +80.10^n+1}{9}=$
.
$\frac{\left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 -20.10^n +1}{9}=$
.
$\frac{\left(10.10^n \right)^2 - 2.\left(10.10^n \right).1 +1^2}{9}=$
.
$\frac{\left(10.10^n-1 \right)^2}{9}=$
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$\left( \frac{\left[10^\left(n+1 \right) \right]-1}{3} \right)^2$ ...... C.Q.D
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abraços :y: