Para que uma função seja periódica, deve ser válida a seguinte igualdade:
Temos, portanto, que tentar expressar a função desejada do modo acima. Começaremos organizando-a de outro modo:
Para facilitar, vamos fazer a seguinte substituição:
Se agora considerarmos a função para
x = x + a, teremos:
Para justificar o último passo, note (através de
1) que:
Consequentemente:
Isso é o bastante para justificar que
g(x+2a) = g(x). Como
g(x) = f(x) - 1/2 , analisando graficamente, notamos que o termo
-1/2 só desloca o gráfico de
f(x) sem alterar sua forma, tampouco sua periodicidade. Demonstramos então que
f(x) é uma função periódica cujo período é
2a.