Problema do presente

[stalone]

Uma certa senhora levou R$ 1200,00 reais pra comprar um presente de natal pra seu marido e
ao comprá-lo , ainda sobrou troco e uma pessoa perguntou quando tinha custado o presente ai ela disse:
" Não vou dizer quando custou o presente , nem muito menos quando sobrou de troco , mas só posso dizer que
o preço do presente ao contrário é igual a 9 vezes seu valor real e que ele não custou um preço fechado , mas sim
em tantos reais e alguns centavos , ou seja o preço do presente foi na forma R$ ABCD , EF reais ."

Então quanto foi o preço do dado presente?

[Douglasm]

Bom dia Stalone. Comecemos limitando os possíveis valores do presente:

Sabemos que ele está na forma ABCD, EF e que multiplicado por 9, ele se torna FEDC, BA. Isso indica que ele não aumenta o número de casas decimais. Logo ele estará compreendido entre: 1000,00 e 1111,11 (ambos multiplicado por 9: 9000,00 e 9999, 99. Qualquer número maior acrescentaria mais um casa decimal).

Agora vamos determinar A e F. Na verdade, é evidente que A = 1 e F = 9, caso contrário a condição acima estaria sendo desobedecida. Por enquanto sabemos que o número é 1BCD, E9. Agora vamos para B e E:

Observemos a seguinte multiplicação: (Não encontrei um jeito satisfatório de usar o Latex, mas creio que dê para entender.)

1 B C D E 9
-------- x 9
_________
9 E D C B 1

Sabemos que 9x9 = 81 e que sobra 8 para ser somado a E. Como sabemos que B = 1 ou B = 0, notamos que só há duas possibilidades para E: E = 7(9x7 + 8 = 71) ou E = 8(9x8 + 8 = 80).

Mas vamos dar um pulo e considerar B = 1. Para que isso seja verdadeiro, tanto C quanto D devem ser iguais a 1 ou um deles é igual a 0. Se B = 1, E = 7 (como foi demonstrado acima).

Primeiro consideremos que D é 0 ou 1. Nenhuma das alternativas é verdadeira, pois se D = 0, C = 7 (9x0 + 7) e a seqüencia da multiplicação seria falsa pois ao multiplicarmos 9 por C, o resultado seria 63, o que resultaria em D = 0 e D = 3 simultaneamente! E, se D = 1, C = 6. Continuando a multiplicação conseguiríamos D = 1 e D = 5, simultaneamente, de modo análogo ao anterior. Concluímos que D é maior que 1 (e menor ou igual a 9).

Nessa situação, para mantermos B = 1, C deve ser, obrigatoriamente, igual a 0. A única possibilidade em que isso ocorre é em D = 7 (9x7 + 7 = 70). Se continuarmos multiplicando, veremos que, apesar de C e D ficarem compatíveis, E será igual a 7 e a 9 simultaneamente. Agora que verificamos que todas as opções possíveis para B = 1 são falsas, concluímos que B = 0 (e conseqüentemente E = 8).

O número já está:

1 0 C D 8 9
--------- x9
_________
9 8 D C 0 1

Observemos agora um detalhe importante: Sabe-se que o "resto" da multiplicação 9xC + algarismo da dezena de 9xD é igual a 8 (9x0 + R = 8 ; R = 8). Sendo assim existem duas possibilidades que originam um número com casa das dezenas igual a 8: 9x8 + 8 = 80 ou 9x9 + ("resto" qualquer da multiplicação 9xD). Como sabemos que D é diferente de 0, ficamos com a opção em que C = 9. Agora é só completar: 9xD + 8 = número que termina em 9. A única possibilidade é D = 9 também (9x9 + 8 = 89).

Finalmente chegamos à resposta: R$ 1099, 89. (Para garantir, é só multiplicá-lo por 9 e encontrar o número 9899, 01).

Então até a próxima!