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Regras do fórum
A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.
por victoreis1 » Qua Out 20, 2010 14:59
Boa tarde.. há dois anos, faço a OBM, e me deparo com questões muito desafiadoras, como esta:
PROBLEMA 5
Prove que o número
é múltiplo de
.
Queria saber como é feita, e também, se possível, uma introdução sobre congruência modular e divisibilidade, já que sou do primeiro ano e nunca tive contato com tais assuntos..
obrigado! ^^
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victoreis1
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por VtinxD » Qua Out 20, 2010 22:27
Cara....poderia até tentar resolver por congruência(estou com uma ideia na cabeça
) mas você disse que ainda não sabe.Então acho que seria melhor se te disse-se um bom lugar para procurar material.
O site da OBMEP(OBM da escola publica) tem tudo que você pode até precisar para a terceira fase,se você chegar la tem que procurar uma igreja e se benze
.Segue o link:
http://www.obmep.org.br/prog_ic_2008/apostila2008.htmlCaso chegue na terceira fase e saiba inglês procure no site da IMO por materiais, são muito bons e complexos.
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VtinxD
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por victoreis1 » Qua Out 20, 2010 23:51
valeu pelo link, muito bons os pdfs de lá.. vo dar uma lida amanhã..
se vc souber como resolver, e tiver vontade, resolve a questão usando congruência modular e tal, que talvez dê pra entender..
valeu!
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por VtinxD » Qui Out 21, 2010 20:40
Espero que esteja certo :
Primeiro vamos analisar o 1+2+3+4+5+....+2005, que é uma PA de razão 1.Sua soma é dada por
Agora nós temos que provar que esse numero é divisivel por 2005 e por 1003:
Agora vou começar a usar a congruencia modular:
o que quer dizer que 2005 sempre deixa resto zero quando divido por 2005;
,uma propriedade da aritmética modular é:"O resto de uma soma e soma dos restos".Repetindo o processo anterior e somando os restos chegamos ao resto igual zero que representa que a soma é divisível pelo módulo.Provando que é divisível.
Agora só usar o mesmo método para 1003 ,provando que a soma também é disivel por 1003.E como 1003 e 2005 não possuem fatores comuns podemos inferir que a soma é disivel por 1+2+3...+2005.
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por victoreis1 » Qui Out 21, 2010 20:53
VtinxD escreveu:Espero que esteja certo :
Primeiro vamos analisar o 1+2+3+4+5+....+2005, que é uma PA de razão 1.Sua soma é dada por
Agora nós temos que provar que esse numero é divisivel por 2005 e por 1003:
Agora vou começar a usar a congruencia modular:
o que quer dizer que 2005 sempre deixa resto zero quando divido por 2005;
,uma propriedade da aritmética modular é:"O resto de uma soma e soma dos restos".Repetindo o processo anterior e somando os restos chegamos ao resto igual zero que representa que a soma é divisível pelo módulo.Provando que é divisível.
Agora só usar o mesmo método para 1003 ,provando que a soma também é disivel por 1003.E como 1003 e 2005 não possuem fatores comuns podemos inferir que a soma é disivel por 1+2+3...+2005.
somando os restos teríamos
porque então chegamos ao resto zero?
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por VtinxD » Qui Out 21, 2010 21:49
Foi mal...esqueci de falar:
só usar essa técnica até o numero 1002 no caso,pois ai os alternos se anulam.
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VtinxD
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Álgebra Elementar
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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