Probabilidade Condicionada/ Acontecimento Independente

por **Mcatia** » Qua Nov 10, 2010 16:25

Oi! Me ajudem por favor
Tem um exercicio de escolha multipla que não estou conseguindo resolver..

Lança-se sucessivas vezes uma moeda. Qual é a probabilidade de serem necessarios pelo menos três lançamentos, até sair a face escudo?
(a) 1/2 (b)1/4 (c)1/8 (d)1/16

(b) é a resposta certa...mas não sei como chegar ao resultado :s

por **0 kelvin** » Qui Nov 11, 2010 10:53

Pesquisando por questões similares me lembrei aqui de uma da segunda fase da fuvest de 2008. Esse problema aqui parece invertido em relação ao da fuvest 2008, na fuvest perguntaram a probabilidade de "ganhar até a quarta rodada", mas aqui é "não sair escudo uma ou duas vezes". O problema é interpretar o até sair e o pelo menos:

A probabilidade de sair escudo ou de não sair escudo em um lançamento é de $\frac{1}{2}$ .

"pelo menos" - são pelo menos três lançamentos, então lançando uma ou duas não sairá escudo. Soma as probabilidades de não sair uma vez e não sair duas vezes.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} = \frac{3}{4}$

Um caso é "sair escudo" no terceiro lançamento, é a probabilidade dos eventos "não sair escudo uma ou duas vezes" subtraída do evento "sair escudo uma vez" (acho q a melhor forma de explicar é com o termo "evento complementar"):

$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Como tem esse "pelo menos" no enunciado, a outra forma de resolução que tambem era possível no caso da pergunta da fuvest 2008 parece não dar certo para este problema. "até a quarta rodada" é o mesmo que somar as probabilidades de ocorrerem 4 casos, de 1 a 4 vitórias precedidas de 0 a 3 empates.

por **Mcatia** » Qui Nov 25, 2010 22:04

'serem necessarios pelo menos três lançamentos até..' não quer dizer que ao lançar a moeda só apartir do 3º lançamento é que pode sair face escudo?
Eu intrepertei o 'até' na frase como: só depois de 3 lançamentos sai face escudo....

Estás a utilizar o caso contrário n é?

hmm bem utilizando o meu racicinio dá-me 1/8 por isso tá mal :s
Pode me explicar melhor?

por **0 kelvin** » Sáb Dez 04, 2010 14:32

entendi como chegar a $\frac{1}{8}$ . O erro foi $\frac{1}{2^3}$ .

A confusão esta no $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2}$ .

1/2 é a probabilidade de um evento que é sair escudo ou não sair escudo. As duas probabilidades são iguais.

1/4 é a probabilidade de não sair escudo duas vezes seguidas.

1/8 é a probabilidade de não sair escudo três vezes seguidas. O problema esta aqui.

O problema esta formulado como "não sair escudo uma vez ou duas vezes". É diferente de "não sair escudo três vezes", pois não sair três vezes é 1/8. Mas veja que o enunciado foi escrito de uma forma que diz que a face escudo sairá na terceira tentativa, não depois de três tentativas.

por **joaofonseca** » Ter Abr 17, 2012 17:14

Encontrei está questão num livro de Matemática editado/publicado em Portugal do 12º ano.Trata-se de uma questão de exame nacional.Quando me deparei com ela tive bastante dificuldade em resolve-la.Até que pesquisei no Google pelas palavras chave e vim aqui ter.

A resposta provavelmente é a mais fácil.
Eu encontrei outra resposta que se baseia no seguinte esquema:

Para sair face escudo no 3º lançamento temos que no 1º e 2º saí cara.Assim a probabilidade de sair escudo no 3º lançamento é $\frac{1}{2}^3$ .Mas depois temos a situação de sair escudo no 4º lançamento: $\frac{1}{2}^4$ .Já devem estar a imaginar.Estamos perante uma progressão geométrica infinita do tipo:

$\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$

Na verdade é mais facil calcular a probabilidade do evento contrario.

por **fraol** » Ter Abr 17, 2012 22:18

Mcatia escreveu:Lança-se sucessivas vezes uma moeda. Qual é a probabilidade de serem necessarios pelo menos três lançamentos, até sair a face escudo?
(a) 1/2 (b)1/4 (c)1/8 (d)1/16

Pelo menos três lançamentos significa que não pode ocorrer escudo no primeiro e no segundo lançamento. Assim teremos os eventos:

A: Não sair escudo no primeiro lançamento e não sair escudo no segundo lançamento $=> p(A) = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

B: Sair escudo no terceiro lançamento $=> p(B) = \frac{1}{2}$

A probabilidade pedida é condicionada: $P(A | B) = \frac{P(A\capB).P(B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}.\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}$ .

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