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[Análise Combinatória] Dúvida

[Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor KleinIll » Dom Abr 08, 2018 20:53

Olá. Peço a ajuda especializada para resolver uma questão de análise combinatória:

Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216


O que eu tentei:
(1)
Primeiro, fiz a combinação sem considerar a regra (Araújo e Batista no mesmo grupo), encontrando o máximo de combinações possíveis:
Entre os soldados: \frac{10!}{3!\left(10-3 \right)!}=120

Segundo passo: calculei o número de combinações em que Araújo e Batista ficariam no mesmo grupo:
Entre os soldados:2*1*8=16

Considerando apenas os soldados, a diferença entre o total de possibilidades e as possibilidades em que ambos os soldados estão no mesmo grupo resulta em: 120-16=104
Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 104*3=312

(2)
Considerei que Araújo e Batista fossem uma única pessoa: \frac{9!}{3!\left(9-6 \right)!}=84
Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 84*3=252

-

Tendo em vista os resultados, ambos não estão entre as alternativas. Se alguém puder esclarecer esta questão, ficarei grato.
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor DanielFerreira » Qua Abr 11, 2018 02:31

Olá KleinIll!

KleinIll escreveu:Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216


Parece-me que não há dúvidas sobre o porquê de usarmos COMBINAÇÃO. Então, pensemos no seguinte: o grupo de visitantes deverá ser formado por um sargento e três soldados; assim, como dois deles não poderão estar juntos, temos as seguintes situações:

SITUAÇÃO I: Aráujo estará no grupo, mas Batista não.

Decisão 1 (d1): combinar três sargentos um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados dois a dois, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma vaga é do soldado Araújo, a grosso modo, podemos dizer que ele está fixado no grupo.

Daí, pelo PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO,

\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}


Analogamente,

SITUAÇÃO II: Batista estará no grupo, mas Araújo não.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados dois a dois, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}.

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma das vagas pertence ao soldado Batista.

Pelo PFC,

\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}


SITUAÇÃO III: Araújo e Batista não estão no grupo.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados três a três, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{3}}.

Assim, pelo PFC, teremos:

\\ \mathbf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{3} =} \\\\ \mathbf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 3)!3!} =} \\\\\\ \mathbf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cot 5!}{5!3!} =} \\\\ \mathbf{3 \cdot (8 \cdot 7) =} \\\\ \fbox{\mathbf{168}}


Por fim, pelo PRINCÍPIO ADITIVO, concluímos que:

\\ \mathsf{84 + 84 + 168 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{336}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor KleinIll » Qua Abr 11, 2018 09:34

DanielFerreira, obrigado pelo retorno.

Sua resposta esclareceu as minhas dúvidas.
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor DanielFerreira » Sex Abr 13, 2018 00:24

Olá KleinIll!

Que bom!

Bons estudos!!
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Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


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Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


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Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
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isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
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Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: