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[Análise Combinatória] Dúvida

[Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor KleinIll » Dom Abr 08, 2018 20:53

Olá. Peço a ajuda especializada para resolver uma questão de análise combinatória:

Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216


O que eu tentei:
(1)
Primeiro, fiz a combinação sem considerar a regra (Araújo e Batista no mesmo grupo), encontrando o máximo de combinações possíveis:
Entre os soldados: \frac{10!}{3!\left(10-3 \right)!}=120

Segundo passo: calculei o número de combinações em que Araújo e Batista ficariam no mesmo grupo:
Entre os soldados:2*1*8=16

Considerando apenas os soldados, a diferença entre o total de possibilidades e as possibilidades em que ambos os soldados estão no mesmo grupo resulta em: 120-16=104
Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 104*3=312

(2)
Considerei que Araújo e Batista fossem uma única pessoa: \frac{9!}{3!\left(9-6 \right)!}=84
Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 84*3=252

-

Tendo em vista os resultados, ambos não estão entre as alternativas. Se alguém puder esclarecer esta questão, ficarei grato.
Бог не в силе, а в правде.
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor DanielFerreira » Qua Abr 11, 2018 02:31

Olá KleinIll!

KleinIll escreveu:Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216


Parece-me que não há dúvidas sobre o porquê de usarmos COMBINAÇÃO. Então, pensemos no seguinte: o grupo de visitantes deverá ser formado por um sargento e três soldados; assim, como dois deles não poderão estar juntos, temos as seguintes situações:

SITUAÇÃO I: Aráujo estará no grupo, mas Batista não.

Decisão 1 (d1): combinar três sargentos um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados dois a dois, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma vaga é do soldado Araújo, a grosso modo, podemos dizer que ele está fixado no grupo.

Daí, pelo PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO,

\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}


Analogamente,

SITUAÇÃO II: Batista estará no grupo, mas Araújo não.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados dois a dois, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}.

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma das vagas pertence ao soldado Batista.

Pelo PFC,

\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}


SITUAÇÃO III: Araújo e Batista não estão no grupo.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados três a três, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{3}}.

Assim, pelo PFC, teremos:

\\ \mathbf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{3} =} \\\\ \mathbf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 3)!3!} =} \\\\\\ \mathbf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cot 5!}{5!3!} =} \\\\ \mathbf{3 \cdot (8 \cdot 7) =} \\\\ \fbox{\mathbf{168}}


Por fim, pelo PRINCÍPIO ADITIVO, concluímos que:

\\ \mathsf{84 + 84 + 168 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{336}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor KleinIll » Qua Abr 11, 2018 09:34

DanielFerreira, obrigado pelo retorno.

Sua resposta esclareceu as minhas dúvidas.
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor DanielFerreira » Sex Abr 13, 2018 00:24

Olá KleinIll!

Que bom!

Bons estudos!!
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D