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[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

Mensagempor Russman » Ter Out 25, 2016 14:41

Problema:

"Quantos números ímpares de 4 algarismos diferentes e menores do que 6400 podem ser formados com os algarismos do sistema decimal de numeração?"



Amigos, alguém sugere uma solução segura para este problema? Estou enfrentando certa dificuldade de listar as possibilidades.

Obrigado!
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Re: [Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

Mensagempor DanielFerreira » Dom Nov 06, 2016 22:36

Olá Russman! Pensei no seguinte:

Inicialmente, devemos encontrar o menor e o maior... São eles: 1023 e 6397.

Avaliemos as possibilidades... MILHAR.

(i) fixando o 1º algarismo e o último temos:

\underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{3}}

Mas, note que o último dígito poderá ser o 5, o 7 e o 9. Desse modo, \mathsf{56 \cdot 4 = 224}.


(ii) fixando o 1º algarismo em 2, teremos:

\underline{\mathsf{2}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{1}}

Mas, teremos também 3, 5, 7 e 9. Portanto, \mathsf{56 \cdot 5 = 280}.


(iii) fixando o 3 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de maneira análoga à (i). Com efeito, teremos 224 números.


(iv) fixando o 4 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de modo análogo ao item (ii), ou seja, 280.


(v) fixando o 5 na unidade de milhar... 224.


(vi) fixando o 6, devemos ficar atento ao máximo... Sendo assim, devemos esmiuçar as possibilidades. Segue,

\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{0}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Entretanto, \ na \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ temos} \\\\ \mathsf{1, 3, 5, 7, 9. \ Ou \ seja, \ 5 \cdot 7 = 35.}

\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{3}}. \quad \mathsf{Todavia, \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ pode \ ser \ ocupada \ por} \\\\ \mathsf{3, 5, 7, 9. \ Isto \ \acute{e}, \ 4 \cdot 7 = 28.}

\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{2}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Temos \ tamb\acute{e}m \ 35 \ n\acute{u}meros}

Por fim, avaliamos \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{3}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. Que, é o mesmo que \mathsf{4 \cdot 7 (1, 5, 7, 9) = 28}.


Logo, temos que:

\\ \mathsf{224 + 280 + 224 + 280 + 224 + 35 + 28 + 35 + 28 =} \\\\ \boxed{\mathsf{1358}}

Tens o gabarito?

Até!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}