[Análise Combinatória] Triângulo de Pascal

por **Pessoa Estranha** » Dom Mai 03, 2015 23:55

Olá, preciso muito de ajuda para resolver a seguinte questão:

Calcule $\sum_{k=0}^{n} (k+1)C(n,k)$ .

Muito Obrigada!

Website · por **alexandre_de_melo** » Qua Jul 29, 2015 22:46

$\sum_{0}^{n}(k+1)\left(^n _k \right)= \sum_{0}^{n}(k+1)\frac{n!}{k!(n-k)!}=\sum_{0}^{n}[k\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}]$

$=\sum_{1}^{n}[k\frac{n!}{k!(n-k)!}]+\sum_{0}^{n}[\frac{n!}{k!(n-k)!}] = \sum_{1}^{n}[\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}]+\sum_{0}^{n}[\frac{n!}{k!(n-k)!}]$

$=n\sum_{1}^{n}[\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}]+\sum_{0}^{n}\left(^n _k \right)$

$=n\sum_{1}^{n}\left(^{n-1} _{k-1} \right)+ \sum_{0}^{n}\left(^n _k \right)$

e usando a teoria de linhas, teremos:

$n*2^{(n-1)}+2^n = 2^{(n-1)}(n+2)$

Ufa!!!!!
Grande abraço!!!! Fuii!!!!!

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