[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

por **Russman** » Ter Out 25, 2016 14:41

Problema:

"Quantos números ímpares de 4 algarismos diferentes e menores do que 6400 podem ser formados com os algarismos do sistema decimal de numeração?"

Amigos, alguém sugere uma solução segura para este problema? Estou enfrentando certa dificuldade de listar as possibilidades.

Obrigado!

por **DanielFerreira** » Dom Nov 06, 2016 22:36

Olá Russman! Pensei no seguinte:

Inicialmente, devemos encontrar o menor e o maior... São eles: 1023 e 6397.

Avaliemos as possibilidades... MILHAR.

(i) fixando o 1º algarismo e o último temos:

$\underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{3}}$

Mas, note que o último dígito poderá ser o 5, o 7 e o 9. Desse modo, $\mathsf{56 \cdot 4 = 224}$ .

(ii) fixando o 1º algarismo em 2, teremos:

$\underline{\mathsf{2}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{1}}$

Mas, teremos também 3, 5, 7 e 9. Portanto, $\mathsf{56 \cdot 5 = 280}$ .

(iii) fixando o 3 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de maneira análoga à (i). Com efeito, teremos 224 números.

(iv) fixando o 4 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de modo análogo ao item (ii), ou seja, 280.

(v) fixando o 5 na unidade de milhar... 224.

(vi) fixando o 6, devemos ficar atento ao máximo... Sendo assim, devemos esmiuçar as possibilidades. Segue,

$\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{0}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Entretanto, \ na \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ temos} \\\\ \mathsf{1, 3, 5, 7, 9. \ Ou \ seja, \ 5 \cdot 7 = 35.}$

$\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{3}}. \quad \mathsf{Todavia, \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ pode \ ser \ ocupada \ por} \\\\ \mathsf{3, 5, 7, 9. \ Isto \ \acute{e}, \ 4 \cdot 7 = 28.}$

$\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{2}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Temos \ tamb\acute{e}m \ 35 \ n\acute{u}meros}$

Por fim, avaliamos $\underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{3}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}$ . Que, é o mesmo que $\mathsf{4 \cdot 7 (1, 5, 7, 9) = 28}$ .

Logo, temos que:

$\\ \mathsf{224 + 280 + 224 + 280 + 224 + 35 + 28 + 35 + 28 =} \\\\ \boxed{\mathsf{1358}}$

Tens o gabarito?

Até!

[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

Re: [Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

Quem está online