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[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

Mensagempor Russman » Ter Out 25, 2016 14:41

Problema:

"Quantos números ímpares de 4 algarismos diferentes e menores do que 6400 podem ser formados com os algarismos do sistema decimal de numeração?"



Amigos, alguém sugere uma solução segura para este problema? Estou enfrentando certa dificuldade de listar as possibilidades.

Obrigado!
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Re: [Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

Mensagempor DanielFerreira » Dom Nov 06, 2016 22:36

Olá Russman! Pensei no seguinte:

Inicialmente, devemos encontrar o menor e o maior... São eles: 1023 e 6397.

Avaliemos as possibilidades... MILHAR.

(i) fixando o 1º algarismo e o último temos:

\underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{3}}

Mas, note que o último dígito poderá ser o 5, o 7 e o 9. Desse modo, \mathsf{56 \cdot 4 = 224}.


(ii) fixando o 1º algarismo em 2, teremos:

\underline{\mathsf{2}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{1}}

Mas, teremos também 3, 5, 7 e 9. Portanto, \mathsf{56 \cdot 5 = 280}.


(iii) fixando o 3 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de maneira análoga à (i). Com efeito, teremos 224 números.


(iv) fixando o 4 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de modo análogo ao item (ii), ou seja, 280.


(v) fixando o 5 na unidade de milhar... 224.


(vi) fixando o 6, devemos ficar atento ao máximo... Sendo assim, devemos esmiuçar as possibilidades. Segue,

\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{0}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Entretanto, \ na \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ temos} \\\\ \mathsf{1, 3, 5, 7, 9. \ Ou \ seja, \ 5 \cdot 7 = 35.}

\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{3}}. \quad \mathsf{Todavia, \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ pode \ ser \ ocupada \ por} \\\\ \mathsf{3, 5, 7, 9. \ Isto \ \acute{e}, \ 4 \cdot 7 = 28.}

\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{2}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Temos \ tamb\acute{e}m \ 35 \ n\acute{u}meros}

Por fim, avaliamos \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{3}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. Que, é o mesmo que \mathsf{4 \cdot 7 (1, 5, 7, 9) = 28}.


Logo, temos que:

\\ \mathsf{224 + 280 + 224 + 280 + 224 + 35 + 28 + 35 + 28 =} \\\\ \boxed{\mathsf{1358}}

Tens o gabarito?

Até!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.