• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Dúvida em inequação modular

Dúvida em inequação modular

Mensagempor Rafael16 » Sáb Dez 29, 2012 19:20

Resolva a inequação \left|\frac{x-4}{3x-1} \right| \geq2.

Para (I)

\frac{x-4}{3x-1}\geq2 \Rightarrow \frac{-5x-2}{3x-1}\geq0

Solução para (I): S = {x\in\Re|-\frac{2}{5}\leq x<\frac{1}{3}}


Para (II)

\frac{x-4}{3x-1}\leq-2 \Rightarrow \frac{7x-6}{3x-1}\leq0

Solução para (II): S = {x\in\Re|\frac{1}{3} < x \leq \frac{6}{7}}

Fazendo a UNIÃO das duas soluções: S = {x\in\Re|-\frac{2}{5} \leq x \leq \frac{6}{7} e x\neq\frac{1}{3}}


Agora outra inequação:

Resolva a inequação \left|\frac{2x+3}{x-1} \right|<4

Para(I)

\frac{2x-3}{x-1}>-4 \Rightarrow \frac{6x-1}{x-1}>0

Solução para (I): S={x\in\Re|x<\frac{1}{6} ou x>1}

Para (II)

\frac{2x+3}{x-1}<4 \Rightarrow \frac{-2x+7}{x-1}<0

Solução para (II): S = {x\in\Re|x<1 ou x>\frac{7}{2}}

Fazendo a INTERSECÇÃO das duas soluções: S = {x\in\Re|x<\frac{1}{6} ou x>\frac{7}{2}}

Não entendi porque na primeira inequação fez a união das soluções, e já na outra fez a intersecção.
Rafael16
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 154
Registrado em: Qui Mar 01, 2012 22:24
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Análise de Sistemas
Andamento: cursando

Re: Dúvida em inequação modular

Mensagempor e8group » Sáb Dez 29, 2012 20:53

Vou resolver a primeira de uma forma diferente ,comente qualquer coisa .

Seja , |f(x) |= \left|\frac{g}{ h }(x)\right|   , h(x) \neq 0 .


Onde :

g(x) =  x- 4 e h(x) =  3x - 1 .

Vamos obter os intervalor para as quais as funções g e h são positivas e negativas .

Temos :

g(x) > 0  \iff  x- 4  > 0  \iff x > 4    \implies   g(x) é positiva para todo x em ( 4 , + \infty )

E ,

g(x) < 0 \iff  x - 4 < 0 \iff x < 4      \implies  g(x) é negativa para todo x em (-\infty,4) .

De forma análoga temos ,

h(x) > 0   \iff   3x - 1 > 0   \iff  x >  1/3 \implies h(x) é positiva para todo x em ( 1/3 , + \inft )

E,

h(x) < 0    \iff      x < 1/3   \implies h(x) é negativa para todo x em ( -\infty , 1/3 ) .


A conclusão é que quando h e g são simultaneamente positiva ou negativa ,vamos ter f estritamente positiva ,caso contrário f < 0 .


Mas perceba que não necessariamente todos elementos do domínio da função h pertence ao domínio da função g . (De modo que acontece os casos acima ) ;

Tomando a interseção ,segue que :

Para g > 0 \text{e} \ h > 0  \text{ou} f > 0

(1/3,+\infty)\cap (4,+\infty) = (4, +\infty) .

Para g < 0 \text{e} \ h < 0  \text{ou} f > 0


-\infty,1/3)\cap (-\infty,4) = (-\infty , 1/3) .


Já agora , veja :

Para g < 0 \text{e} \ h > 0  \text{ou} f < 0

(1/3,+\infty)\cap (-\infty,4) = ( 1/3,4)

Para g > 0 \text{e} \ h < 0  \text{ou} f < 0

(-\infty,1/3)\cap (4,+\infty) = \varnothing .


Com isso podemos reescrever a função f em sentença e retirar o seu modulo :


f(x) = \begin{cases} \frac{x-4}{3x - 1}  \ \ \text{se }  x \in (-\infty , 1/3)\cup(4, +\infty) \\  - \left(\frac{x-4}{3x - 1}  \right ) \ \ \text{se } x\in ( 1/3,4)\end{cases} .


Conseguiu entender por que tivermos que fazer a interseção . Agora só resolver f \geq 2 .

Caso 1 : x \in (-\infty , 1/3)


\frac{x-4}{3x - 1} \geq  2  \iff x- 4 \leq 2(3x-1) \ \text{Por que ?} \iff x -6x\leq -2 + 4 \iff - 5x \leq 2  \iff x \geq  -2/5

Agora note que qualquer 1/3 > x \geq  -2/5 satisfaz \frac{x-4}{3x - 1} \geq  2 .


Como chegamos a este resultado , veja nossa condição :

x \in (-\infty , 1/3) .

Faça um teste , 1 > -2/5 .Mas 1 não satisfaz \frac{x-4}{3x - 1} \geq  2 .(Reflita!) .


Agora tente concluir os casos 2 e 3 .

Caso 2 : x \in (4, +\infty)


Caso 3: x \in (1/3, 4)

É bem trabalhoso , mas acredito que é bem mais claro de compreender desta forma .Espero q ajude .
e8group
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1400
Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica
Andamento: cursando


Voltar para Inequações

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 7 visitantes

 



Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}