Dúvida em inequação modular

por **Rafael16** » Sáb Dez 29, 2012 19:20

Resolva a inequação $\left|\frac{x-4}{3x-1} \right| \geq2$ .

Para (I)

$\frac{x-4}{3x-1}\geq2$ $\Rightarrow$ $\frac{-5x-2}{3x-1}\geq0$

Solução para (I): S = { $x\in\Re|-\frac{2}{5}\leq x<\frac{1}{3}$ }

Para (II)

$\frac{x-4}{3x-1}\leq-2$ $\Rightarrow$ $\frac{7x-6}{3x-1}\leq0$

Solução para (II): S = { $x\in\Re|\frac{1}{3} < x \leq \frac{6}{7}$ }

Fazendo a UNIÃO das duas soluções: S = { $x\in\Re|-\frac{2}{5} \leq x \leq \frac{6}{7} e x\neq\frac{1}{3}$ }

Agora outra inequação:

Resolva a inequação $\left|\frac{2x+3}{x-1} \right|<4$

Para(I)

$\frac{2x-3}{x-1}>-4$ $\Rightarrow$ $\frac{6x-1}{x-1}>0$

Solução para (I): S={ $x\in\Re|x<\frac{1}{6} ou x>1$ }

Para (II)

$\frac{2x+3}{x-1}<4$ $\Rightarrow$ $\frac{-2x+7}{x-1}<0$

Solução para (II): S = { $x\in\Re|x<1 ou x>\frac{7}{2}$ }

Fazendo a INTERSECÇÃO das duas soluções: S = { $x\in\Re|x<\frac{1}{6} ou x>\frac{7}{2}$ }

Não entendi porque na primeira inequação fez a união das soluções, e já na outra fez a intersecção.

por **e8group** » Sáb Dez 29, 2012 20:53

Vou resolver a primeira de uma forma diferente ,comente qualquer coisa .

Seja , $|f(x) |= \left|\frac{g}{ h }(x)\right| , h(x) \neq 0$ .

Onde :

g(x) = x- 4

e

.

Vamos obter os intervalor para as quais as funções

e

são positivas e negativas .

Temos :

$g(x) > 0 \iff x- 4 > 0 \iff x > 4 \implies g(x)$ é positiva para todo

em $( 4 , + \infty )$

E ,

$g(x) < 0 \iff x - 4 < 0 \iff x < 4 \implies g(x)$ é negativa para todo x em $(-\infty,4)$ .

De forma análoga temos ,

$h(x) > 0 \iff 3x - 1 > 0 \iff x > 1/3 \implies h(x)$ é positiva para todo

em $( 1/3 , + \inft )$

E,

$h(x) < 0 \iff x < 1/3 \implies h(x)$ é negativa para todo

em $( -\infty , 1/3 )$ .

A conclusão é que quando

e

são simultaneamente positiva ou negativa ,vamos ter

estritamente positiva ,caso contrário f < 0

.

Mas perceba que não necessariamente todos elementos do domínio da função

pertence ao domínio da função

. (De modo que acontece os casos acima ) ;

Tomando a interseção ,segue que :

Para $g > 0 \text{e} \ h > 0 \text{ou} f > 0$

$(1/3,+\infty)\cap (4,+\infty) = (4, +\infty)$ .

Para $g < 0 \text{e} \ h < 0 \text{ou} f > 0$

$-\infty,1/3)\cap (-\infty,4) = (-\infty , 1/3)$ .

Já agora , veja :

Para $g < 0 \text{e} \ h > 0 \text{ou} f < 0$

$(1/3,+\infty)\cap (-\infty,4) = ( 1/3,4)$

Para $g > 0 \text{e} \ h < 0 \text{ou} f < 0$

$(-\infty,1/3)\cap (4,+\infty) = \varnothing$ .

Com isso podemos reescrever a função

em sentença e retirar o seu modulo :

$f(x) = \begin{cases} \frac{x-4}{3x - 1} \ \ \text{se } x \in (-\infty , 1/3)\cup(4, +\infty) \\ - \left(\frac{x-4}{3x - 1} \right ) \ \ \text{se } x\in ( 1/3,4)\end{cases}$ .

Conseguiu entender por que tivermos que fazer a interseção . Agora só resolver $f \geq 2$ .

Caso 1 : $x \in (-\infty , 1/3)$

$\frac{x-4}{3x - 1} \geq 2 \iff x- 4 \leq 2(3x-1) \ \text{Por que ?} \iff x -6x\leq -2 + 4 \iff - 5x \leq 2 \iff x \geq -2/5$

Agora note que qualquer $1/3 > x \geq -2/5$ satisfaz $\frac{x-4}{3x - 1} \geq 2$ .

Como chegamos a este resultado , veja nossa condição :

$x \in (-\infty , 1/3)$ .

Faça um teste , 1 > -2/5 .Mas 1 não satisfaz $\frac{x-4}{3x - 1} \geq 2$ .(Reflita!) .

Agora tente concluir os casos 2 e 3 .

Caso 2 : $x \in (4, +\infty)$

Caso 3: $x \in (1/3, 4)$

É bem trabalhoso , mas acredito que é bem mais claro de compreender desta forma .Espero q ajude .

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