Dúvida exercício de inequação

[Danilo]

Segue o exercício:

Considere a desigualdade 2x - 4/ x +1 > 1

(a) x = -2 é solução para a desigualdade?

Bom, primeiro eu tentei encontrar o conjunto solução, mas parece que encontrei uma contradição na minha resposta... resolvi da seguinte maneiro:

x + 1 ? 0 => x ? - 1 (porque não é possível fazer divisões por zero)

para simplificar a expressão, vou multiplicar a ambos os membros por x + 1. como não sei se x + 1 é positivo ou negativo vou considerar para os dois casos.

primeiro para x + 1 positivo, temos:


2x - 4/x +1 x x + 1 > x + 1 => 2x -4 > x + 1 => x > 5 então, => x > - 1 e x > 5 (então x é maior que - 1 ou maior que 5 ???) aí quando eu substituo, por exemplo, por 3, eu chego numa contradição. terminando o exercício..


para x + 1 um número negativo, temos :
2x - 4 < x + 1 => x < 5 e x < - 1 novamente eu chegon uma contradição.

O que estou fazendo errado que não encontro solução ?


bom, eu testo x = -2 e novamente eu chego numa contradição...

se mais alguém puder ajudar, agradeço imensamente.

[fraol]

Danilo,

Se a expressão for , como você considerou que x deve ser diferente de -1, então

para basta substituir e verificar:

.

Assim a expressão é verdadeira para .

[Danilo]

Fraol, eu cheguei numa resposta diferente. Me corrija se eu estiver errado. -8/-1 > 1 -8/ -1 é um número negativo correto? se ''virar'' um número positivo o outro membro da inequação ''vira'' um número negativo. Por exemplo se multiplicarmos ambos os membros por - 1 . aí ficaria: 8 < -1 . ou to errado?

[fraol]

Sim, quando você multiplica por um número negativo, você inverte o sentido da desigualdade.

O que ocorre é que você está deixando passar que é um número positivo ( 8 ), então se

temos que .

[LuizAquino]

Fraol, eu cheguei numa resposta diferente. Me corrija se eu estiver errado. -8/-1 > 1 -8/ -1 é um número negativo correto? se ''virar'' um número positivo o outro membro da inequação ''vira'' um número negativo. Por exemplo se multiplicarmos ambos os membros por - 1 . aí ficaria: 8 < -1 . ou to errado?

Veja o seu erro.

Temos a desigualdade:



Ao multiplicar ambos os lados por -1, ficamos com:







Qual é o resultado de 8 dividido por -1? Ora, esse resultado é -8! Ficamos então com:

-8 < -1

Note que não há contradição alguma nessa desigualdade.

[Danilo]

Pessoal, desculpa aí pela derrapada... agora outra dúvida: eu fiz algo errado ao encontrar o conjunto solução? ou não há solução?

[LuizAquino]

Pessoal, desculpa aí pela derrapada... agora outra dúvida: eu fiz algo errado ao encontrar o conjunto solução? ou não há solução?

Você dividiu corretamente em dois casos. Mas não soube montar a solução.

Caso 1) x > - 1 e x > 5

Você deve tirar a interseção entre esses dois intervalos.



Essa é a solução do caso 1.

Caso 2) x < - 1 e x < 5

Você deve tirar a interseção entre esses dois intervalos.



Essa é a solução do caso 2.

Solução Final

A solução final é a união das soluções de cada caso. Temos então que:



Note que -2 pertence S. Portanto, -2 é solução da desigualdade original.

[Danilo]

Obrigado pessoal, me ajudaram muito!