[Equação irracional] Questão da EPCAR

por **-daniel15asv** » Sex Ago 03, 2012 17:16

A equação x = $\sqrt[2]{3x+a²+3a}$ , em que x é a incógnita e a $\in$ IR tal que a<-3, possui conjunto solução S, S $\subset$ IR.
Sobre S tem-se as seguintes proposições.
I) Possui exatamente dois elementos.
II) Não possui elemento menor que 2.
III) Possui elemento maior que 3.

Sobre as proposições acima, são verdadeiras.

a) apenas I e II c) apenas II e III
b) apenas I e III d) I, II e III

No gabarito ta c mas eu achei b

Veja se eu estou certo !
x= $\sqrt[2]{3x+a²+3a}$ é uma raiz, logo x ? 0 . Elevando ao quadrado:
x² ? 3x ? a(a + 3) = 0 ? x = ?a ou x = a + 3 . Substituindo a por valores possíveis que é a<-3

(I) Possui exatamente dois elementos (V)
(II) Não possui elemento menor que 2. (F)
(III) Possui elemento maior que 3. (V)

por **DanielFerreira** » Sáb Ago 04, 2012 00:22

Daniel,
boa noite!
A equação não ficou muito clara. Confirma por favor se é $x = \sqrt{3x + a^2 + 3a}$

por **-daniel15asv** » Sáb Ago 04, 2012 00:36

É isso mesmo danjr

por **DanielFerreira** » Sex Ago 17, 2012 21:40

$\\x = \sqrt{3x + a^2 + 3a} \\ x^2 = 3x + a^2 + 3a \\ x^2 - 3x - a^2 - 3a = 0 \\ \Delta = 9 - 4(- a^2 - 3a) \\ \Delta = 4a^2 + 12a + 9 \\ \Delta = (2a + 3)^2 \\\\ x' = \frac{3 + 2a + 3}{2} \rightarrow \boxed{x' = a + 3} \\\\ x'' = \frac{3 - 2a - 3}{2} \rightarrow \boxed{x'' = - a}$

A princípio, $S = \left \{a + 3, - a}{ \right \}$ , mas, devemos fazer a verificação.

Analisemos quando:
$\star$ $\boxed{x = a + 3}$ , sabemos que $a = \left \{..., - 6, - 5, - 4}{ \right \}$ , então $x = \left \{..., - 3, - 2, - 1}{ \right \}$ .

Substituindo os respectivos valores de

e

na equação inicial $x = \sqrt{3x + a^2 + 3a}$ , pode-se notar que É FALSA, veja:

$\\(- 1) = \sqrt{ 3 \cdot (- 1) + (- 4)^2 + 3 \cdot (- 4)} \Rightarrow - 1 = \sqrt{1} \Rightarrow \boxed{- 1 = 1}$

$\\(- 2) = \sqrt{ 3 \cdot (- 2) + (- 5)^2 + 3 \cdot (- 5)} \Rightarrow - 2 = \sqrt{4} \Rightarrow \boxed{- 2 = 2}$

$\left ( ... \right )$

$\star$ $\boxed{x = - a}$ , como $a = \left \{..., - 6, - 5, - 4}{ \right \}$ , então $x = \left \{..., 6, 5, 4}{ \right \}$ .

Substituindo os respectivos valores de

e

na equação, nota-se que É VERDADEIRA, veja:

$\\(4) = \sqrt{ 3 \cdot (4) + (- 4)^2 + 3 \cdot (- 4)} \Rightarrow 4 = \sqrt{16} \Rightarrow \boxed{4 = 4}$

$\\(5) = \sqrt{ 3 \cdot (5) + (- 5)^2 + 3 \cdot (- 5)} \Rightarrow 5 = \sqrt{25} \Rightarrow \boxed{5 = 5}$

$\left ( ... \right )$

Pode-se concluir que $\boxed{\boxed{S = \left \{4, 5, 6, 7, ...}}{ \right \} }}$

Desculpe a demora.

Daniel F.