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Equação diferencial

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Equação diferencial

por Crist » Qua Jan 15, 2014 16:08

Alguem poderia me ajudar a resolver a equação diferencial por separação de variáveis, já estou exausta de tanto tentar e não consigo.
y´= y - x
y(0) = 2

R.: y = x + e^x + 1

Crist: Usuário Dedicado; Mensagens: 45; Registrado em: Qua Out 24, 2012 16:47; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Matemática; Andamento: cursando

Re: Equação diferencial

por Man Utd » Ter Jan 28, 2014 16:34

Olá

Dada uma equação diferencial do tipo y'+P(x)y=f(x)

y'+P(x)y=f(x)

temos que usar o método do fator integrante : $e^{\int \; P(x) \; dx}=e^{-x}$

multiplique toda a equação por $e^{-x}$ :

$e^{-x}*y'-e^{-x}*y=-e^{-x}*x$

$\frac{d \left(e^{x-}*y \right) }{dx}=-e^{x}*x$

integre os dois lados em relação a x:

$e^{-x}*y=\int \; -e^{x}*x \; dx$

Avance....

Editado pela última vez por Man Utd em Ter Jan 28, 2014 19:49, em um total de 1 vez.

Man Utd: Colaborador Voluntário; Mensagens: 155; Registrado em: Qua Abr 03, 2013 09:20; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia da Computação; Andamento: cursando

Re: Equação diferencial

por Russman » Ter Jan 28, 2014 18:29

Ou você pode resolver utilizando o método de supor uma solução. Veja que a equação é da forma
y' + k.y = f(x)

y' + k.y = f(x)

de onde, sendo y_1(x)

y_1(x)

a solução de y'-y=0

y'-y=0

e

y_2(x)

a solução de y'-y=-x

y'-y=-x

, temos a solução de y'-y=-x

y'-y=-x

como sendo y_1(x) + y_2(x)

y_1(x) + y_2(x)

.

Supondo $y_1(x) = c e^{ax}$ , temos

$cae^{ax} - ce^{ax} = 0$
$ce^{ax} ( a - 1) = 0$
a=1

a=1

,

portanto, $y_1(x) = c.e^{x}$ .

Agora, supondo y_2(x) = ax+b

y_2(x) = ax+b

como sendo polinomial ( já que f(x) o é) de 1° grau, temos

a - ax-b = - x

a - ax-b = - x

(a-b) -ax = -x

a-b = 0

-a = -1

de onde chegamos em a=1

a=1

e

b=1

.

Assim, a solução é y(x) = ce^x + x+1

y(x) = ce^x + x+1

onde determinamos

utilizando y(0) = 2

y(0) = 2

.

y(0) = c+1 = 2

c = 1

A solução é, portanto, y(x) = e^x + x +1

y(x) = e^x + x +1

.

"Ad astra per aspera."

Russman: Colaborador Voluntário; Mensagens: 1183; Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06; Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO; Área/Curso: Física; Andamento: formado

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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?

Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente

Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

$y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})$

$1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

Em y=mx+b

y=mx+b

substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

$3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}$

2)Na equação y=x^2-5x+9

y=x^2-5x+9

não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

$(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0$

As coordenadas do vertice da parabola são $(\frac{5}{2},\frac{11}{4})$

O eixo de simetria é a reta $x=\frac{5}{2}$ .Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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