[Equação Diferencial] Grau de homogeneidade e solução geral

por **kayone** » Dom Set 22, 2013 17:37

Pessoal boa tarde, estamos com um grupo de estudos e encontramos o seguinte problema que nenhum de nós conseguimos resolver.

Seria a seguinte equação:

y'= x+y/2x

chegamos em:

dy = xdx
y 2x

Então:

lny = ??? agora travamos...alguem pode ajudar ? Obrigado

por **Man Utd** » Dom Jun 15, 2014 23:49

$y'=x+\frac{y}{2x}$

$y'-\frac{1}{2x}y=x$

obtenha o fator integrante : $\mu(x)=e^{ \int -\frac{1}{2x} \; dx}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{ \sqrt{x} }$ , multiplique toda a equação por esse fator :

$\frac{y'}{\sqrt x}-\frac{2}{\sqrt{x^3}} y=\sqrt{x}$

$\left( \frac{y}{\sqrt x} \right)^{\prime}=\sqrt x$

$\int \; \left( \frac{y}{\sqrt x} \right)^{\prime} \; dx=\int \; \sqrt x \; dx$

$\frac{y}{\sqrt x} =\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+C$

$y =\frac{2x^2}{3}+C\sqrt{x}$

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