[Equação de 3° grau]

por **Mayra Luna** » Sex Nov 09, 2012 11:27

Se 1 + i é uma das raízes de x^3 - 5x^2 + cx + d = 0

, em que c e d são coeficientes reais, então uma outra raiz dessa equação é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Sempre tenho duvidas na hora de fazer equações de terceiro grau e essa me pareceu ainda mais complicada.
A resposta é C, como resolvo?

por **MarceloFantini** » Sex Nov 09, 2012 11:51

Mayra, primeiro substitua 1+i

nesta equação. Depois, lembre-se que o conjugado também é raíz, logo 1-i

também satisfaz x^3 -5x^2 +cx +d =0

. Substitua e resolva para

e

.

por **Mayra Luna** » Sex Nov 09, 2012 12:35

Oi, substituindo 1 + i

na equação achei

(1+i)^3 - 5(1+i)^2 + c(1 + i) + d = 0

1^3 + 3.1^2.i + 3.1.i^2 + i^3 - 5(1^2 + 2i + i^2) + c + ci + d = 0

Tenho que substituir 1 - i

? Como resolvo para c e d?

por **MarceloFantini** » Sex Nov 09, 2012 12:38

Sim, substitua agora 1-i

. Você terá um sistema com duas equações e duas incógnitas envolvendo

e

, que você resolve como outro sistema qualquer.

por **Mayra Luna** » Sex Nov 09, 2012 12:54

$\begin{cases} i^3 - 2i^2 - 7i - 4 + c + ci +d = 0 \\ -i^3 - 2i^2 + 13i - 4 + c - ci +d = 0 \end{cases}$

-4i^2 + 6i - 8 + 2c + 2d = 0

E o que faço com o c e o d?

por **e8group** » Sex Nov 09, 2012 15:48

Olá , eu tenho uma idéia que possa lhe ajudar .

Primeiro sabemos que as duas raízes são r_1 = 1 +i

e

, vamos descobrir r_3

Observe que sua expressão incial pode ser rescrita como ,

x^3 -5x^2 + c x + d = (x-r_1)(ax^2 +bx +c ) = a(x-r_1) (x-r_2)(x-r_3) = 0

Expandindo os termos de a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3) = 0

, e reagrupando vamos obbter :

a (x^3 ( -r_1 -r_2 -r_3 ) x^2 + (r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2r_3 )x - r_1r_2r_3 ) = 0

igualando os coeficientes pois dois polinomios são iguis se e somente se seus coeficientes são correspondentes , segue que ,

a = 1 e que nos interessa , -r_1 -r_2 -r_3 = - 5

. lembrando que , r_1 = 1 +i

e

, finalmente segue que , $- 5 = - (1+i) - (1-i) - r_3 \implies - r_3 - 2 = - 5 \therefore r_3 = 3$ .

Conclusão a outra raíz será r_3 = 3

Espero que ajude também , qualquer coisa pergunte .

por **Mayra Luna** » Sex Nov 09, 2012 17:27

Oi!
Desculpa, mas não entendi porque a equação pode ser reescrita dessa forma e como o reagrupamento é feito *-)

Obrigada desde já!

por **e8group** » Sex Nov 09, 2012 20:02

Ok .

Primeiramente podemos escrever esta equação como uma função , seja

, definida por f(x) = x^3 -5x^2 + c x + d

. Sabemos que quando x = r_1 ,x= r_2 ,x = r_3

,

. Além disso , podemos escrever f(x)

como produto de funções . Sejam g(x) = x - r_1

e $h(x) = ax^2 + b x + c \ a \neq 0 , b , c \in \mathbb{R}$ tal que , f(x) = g(x) h(x)

para $x \in \mathbb{R}$ e r_1

seja raiz de g(x)

e

sejam raízes de h (x)

.

É fácil ver que , $f(r_1) = 0 = g(r_1) h(r_1) = 0 h(r_1) = 0 \cdot$ e

$f(r_2 ) = 0 = g(r_2) h(r_2) = g(r_2) \cdot 0 = 0$ e finalmente

f(r_3) = 0 = g(r_3) h(r_3) = g(r_3) 0 = 0

.

Note que não necessariamente h(r_1) = 0

mas como

,orá qualquer número real multiplicado por zero o resultado será zero . Analogamente , concluimos para os outros casos .

Assim segue que , f(x) = x^3 -5x^2 + c x + d = g(x) h(x) = (x-r_1) (ax^2 + bx + c )

f(x) = x^3 -5x^2 + c x + d = g(x) h(x) = (x-r_1) (ax^2 + bx + c )

. Para estabelecer esta igualdade , os coeficientes correspondentes das funções polinomiais devem ser iguais . (Por que ?? )

Exemplo : Seja k(x) = ax^2 +b

. Agora seja p(x) = a_1 x^2 + b_1

, perceba que k(x) = ax^2 +b = p(x) = a_1 x^2 + b_1

se , e somente a = a_1

e

. Este exemplo só foi uma introdução .

Continuando ...

Perceba que podemos escrever nossa função h(x)

na forma fatorada , isto é h(x) = a (x-r_2)(x-r_3)

( Por que ?? )

Assim ,

f(x) = x^3 -5x^2 + c x + d = a (x - r_1)(x-r_2)(x-r_3)

$\implies f(x) = a \left[ (x-r_1)(x^2 - r_3 x - r_2 x + r_ 2r_3) \right ]$

$\implies f(x) = a \left[ (x-r_1)(x^2 + (-r_3 -r_2)x + r_2 r_3) \right ]$

$\implies f(x) = a \left[ x^3 + (-r_3 -r_2)x^2 + r_2 r_3 x - r_1 x^2+ (r_3 r_1 + r_2 r_1)x - r_1r_2r_3\right ]$

$\implies f(x) = a x^3 - a(r_1 +r_2 +r_3)x^2 + a(r_1r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3)x - ar_1r_2r_3$

Conclusão $f(x) = g(x) h(x) \iff \begin{cases}x^3 = ax^3 \\ -5x^2 = - a(r_1 +r_2 +r_3)x^2 \\ c x = a(r_1r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3)x \\ d = - ar_1r_2r_3 \end{cases} \implies \begin{cases}1 = a \\ -5 = - (r_1 +r_2 +r_3) \\ c = (r_1r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3) \\ d = - r_1r_2r_3 \end{cases}$

Da segunda equação vamos ter que ,

$-5 = - (r_1 +r_2 +r_3) \implies r_3 = 5 - (r_1 + r_2) = 5 - (1 + i + 1 - i ) = 5 - (2 ) = 3$

Ficou claro ? Qualquer dúvida post algo .