[Problemas de Valor Inicial] Equações Diferenciais

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[Problemas de Valor Inicial] Equações Diferenciais

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[Problemas de Valor Inicial] Equações Diferenciais

Mensagempor mayconf » Ter Abr 15, 2014 18:24

eai galera alguém pode me ajudar a resolver este exercício

y\prime\prime+16y\prime=0 y(0)=2 y\prime(0)=-2

R: y=2cos 4x -\frac{sen4x}{2}
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Re: [Problemas de Valor Inicial] Equações Diferenciais

Mensagempor Russman » Ter Abr 15, 2014 22:28

Equações diferenciais do tipo

y''+a y'+by = 0

são o típico caso de fazermos um inset de y(x) = A e^{\alpha t}. Você obterá exponenciais complexos que, com a devida combinação linear, serão funções harmônicas.
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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