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Aritmética

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Mensagempor matmatco » Seg Abr 08, 2013 22:52

boa noite, estou tentando resolver esse exercício faz algum tempo mas ainda não compreendi como mostrar segue o exercício abaixo:

Fixe três algarismos distintos e diferentes de zero.Forme os seis números com dois algarismos distintos tomados dentre os algarismos fixados.Mostre que a soma desses números é igual a 22 vezes a soma dos três algarismos fixados.

considerei esses três algarismos como a,b e c onde {ab,ac,ba,bc,ca,cb} seria o seis números mas não consigo sair daqui, alguém pode me ajudar por favor.

obs: peço que não coloquem a resolução quero mesmo é a ideia de como resolver.
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Re: Aritmética

Mensagempor LuizAquino » Seg Abr 08, 2013 23:26

matmatco escreveu:boa noite, estou tentando resolver esse exercício faz algum tempo mas ainda não compreendi como mostrar segue o exercício abaixo:

Fixe três algarismos distintos e diferentes de zero.Forme os seis números com dois algarismos distintos tomados dentre os algarismos fixados.Mostre que a soma desses números é igual a 22 vezes a soma dos três algarismos fixados.

considerei esses três algarismos como a,b e c onde {ab,ac,ba,bc,ca,cb} seria o seis números mas não consigo sair daqui, alguém pode me ajudar por favor.

obs: peço que não coloquem a resolução quero mesmo é a ideia de como resolver.


Dica

Um número de dois algarismos no formato xy na base decimal, pode ser reescrito como 10x + y.

Por exemplo, o número 28 pode ser reescrito como 2*10 + 8.
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Re: Aritmética

Mensagempor matmatco » Ter Abr 09, 2013 20:22

não entendi seu raciocinio
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Re: Aritmética

Mensagempor LuizAquino » Qua Abr 10, 2013 23:12

matmatco escreveu:não entendi seu raciocinio


Suponha que a = 2, b = 4 e c = 6. Neste caso, você teria o conjunto {24, 26, 42, 46, 62, 64}. Note que você pode reescrever este conjunto como sendo {2*10 + 4, 2*10 + 6, 4*10 + 2, 4*10 + 6, 6*10 + 2, 6*10 + 4}. Agora note o que acontece quando você soma estes números:

(2*10 + 4) + (2*10 + 6) + (4*10 + 2) + (4*10 + 6) + (6*10 + 2) + (6*10 + 4) = 2*(10 + 10 + 1 + 1) + 4*(1 + 10 + 10 + 1) + 6*(1 + 1 + 10 + 10)
= 2*22 + 4*22 + 6*22
= (2 + 4 + 6)*22
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Re: Aritmética

Mensagempor matmatco » Qui Abr 11, 2013 10:49

Suponha que a = 2, b = 4 e c = 6. Neste caso, você teria o conjunto {24, 26, 42, 46, 62, 64}. Note que você pode reescrever este conjunto como sendo {2*10 + 4, 2*10 + 6, 4*10 + 2, 4*10 + 6, 6*10 + 2, 6*10 + 4}. Agora note o que acontece quando você soma estes números:

(2*10 + 4) + (2*10 + 6) + (4*10 + 2) + (4*10 + 6) + (6*10 + 2) + (6*10 + 4) = 2*(10 + 10 + 1 + 1) + 4*(1 + 10 + 10 + 1) + 6*(1 + 1 + 10 + 10)
= 2*22 + 4*22 + 6*22
= (2 + 4 + 6)*22[/quote]

agora entendi mas fiquei com duvida de como vc encontrou esse 1 : 2*(10 + 10 + 1 + 1) + 4*(1 + 10 + 10 + 1) + 6*(1 + 1 + 10 + 10)
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Re: Aritmética

Mensagempor LuizAquino » Qui Abr 11, 2013 11:58

matmatco escreveu:agora entendi mas fiquei com duvida de como vc encontrou esse 1 : 2*(10 + 10 + 1 + 1) + 4*(1 + 10 + 10 + 1) + 6*(1 + 1 + 10 + 10)


Por exemplo, observe os números 2 em destaque:

(2*10 + 4) + (2*10 + 6) + (4*10 + 2) + (4*10 + 6) + (6*10 + 2) + (6*10 + 4)

Agora responda: o que acontece se você colocar esses números em evidência? E se você colocar 4 em evidência? E quanto ao 6 em evidência?
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Re: Aritmética

Mensagempor matmatco » Qui Abr 11, 2013 20:52

me desculpe mas ainda não entendi essa parte, tentei resolver usando sua ideia :

a,b e c distintos
o produto seria {ab,ac,ba,bc,ca,cb} reescrevendo seria a*(10+10+b+c)+b*(10+10+a+c)+c*(10+10+a+b) até aqui entendi mas como fazer aparecer esse número 1?
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Re: Aritmética

Mensagempor LuizAquino » Sex Abr 12, 2013 00:07

matmatco escreveu:me desculpe mas ainda não entendi essa parte, tentei resolver usando sua ideia :

a,b e c distintos
o produto seria {ab,ac,ba,bc,ca,cb} reescrevendo seria a*(10+10+b+c)+b*(10+10+a+c)+c*(10+10+a+b) até aqui entendi mas como fazer aparecer esse número 1?


A ideia não é esta que você escreveu.

Considerando o conjunto {ab, ac, ba, bc, ca, cb}, podemos colocá-lo no formato {10a + b, 10a + c, 10b + a, 10b + c, 10c + a, 10c + b}. Somando estes números, ficamos com:

(10a + b) + (10a + c) + (10b + a) + (10b + c) + (10c + a) + (10c + b)

Em seguida, note que colocando a em evidência ficamos com:

a(10 + 10 + 1 + 1) + b + c + 10b + 10b + c + 10c + 10c + b

Agora pense no seguinte: o que acontece ao colocar b em evidência? E ao colocar c em evidência?

Observação

Você também pode pensar da seguinte forma:

(10a + b) + (10a + c) + (10b + a) + (10b + c) + (10c + a) + (10c + b) = (10a + 10a + a + a) + (b + 10b + 10b + b) + (c + c + 10c + 10c)
= 22a + 22b + 22c
= 22(a + b + c)
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Re: Aritmética

Mensagempor matmatco » Sex Abr 12, 2013 10:18

agora sim entendi, muito obrigado
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D