[Problema]Dúvida

por **Lana** » Ter Mai 07, 2013 16:47

(CEFET-2011)Um engenheiro tem R$ 1.942,00 para comprar os pisos de tipos A e B, sendo que o metro quadrado de A custa R$ 46,00 e o de B, R$ 32,00. Para encontrar as quantidades x e y , em metros quadrados, dos respectivos pisos, e gastar exatamente a quantia disponível, um matemático lhe propôs o seguinte enigma: “Para qualquer inteiro t ,há uma solução inteira, não necessariamente positiva, dada por:
$x= 6797+\frac{32}{d}t$ e $y=-9710-\frac{46}{d}t$ .

=mdc(46,32)”.
Pode-se concluir, corretamente, que existe (m):
Gabarito:Somente duas soluções com valores positivos.

Não intendi o que seria esse t , e ao que devo iguala-lo.

por **Luis Gustavo** » Ter Mai 07, 2013 18:32

Temos . Então:

$x=6797+\dfrac{32}{2}t=6797+16t$

$x=-9710-\dfrac{46}{2}t=-9710-23t$

Estas fórmulas, para qualquer t inteiro que você inserir nelas, irão gerar valores de x e y que satisfarão o problema do engenheiro. Mas note que estes valores nem sempre serão positivos, e nós queremos apenas valores positivos (ou nulos, já que o engenheiro pode não comprar nenhum piso de determinado tipo), pois é impossível comprar um número negativo de pisos. Vamos então ver para quais valores de t teremos x positivo:

$6797+16t\ge0$
$16t\ge-6797$
$t\ge-\dfrac{6797}{16}$

Note que $-\dfrac{6797}{16}=-424,8125$ . Mas t deve ser inteiro, então vamos aproximar $t\ge-\dfrac{6797}{16}$ como $t\ge-424.$

Agora vamos ver para que valores de t teremos y positivo:

$-9710-23t\ge0$
$-23t\ge9710$
$23t\le-9710$
$t\le-\dfrac{9710}{23}$

Temos $-\dfrac{9710}{23}\cong-422,173$ , motivo pelo qual mais uma vez vamos aproximar $t\le-\dfrac{9710}{23}$ como $t\le-423.$

Vamos ver o que fizemos até aqui:

Descobrimos que, para que x seja positivo, devemos ter $t\ge-424.$
Descobrimos que, para que y seja positivo, devemos ter $t\le-423.$

Mas precisamos que x e y sejam ambos positivos, isto é, t deve pertencer aos dois intervalos ao mesmo tempo. Então, devemos ter $-424\le t \le-423$ . Só existem dois valores possíveis para t nesse intervalo: t=-424 ou t =-423. Logo, são duas soluções com valores positivos. O problema não pede, mas as soluções são as listadas abaixo:

Se $t =-424\Rightarrow x=6797+16\times(-424)=6797-6784=13m^2$ do piso A e $y=-9710-23\times(-424)=-9710+9752=42m^2$ do piso B.
Se $t =-423\Rightarrow x=6797+16\times(-423)=6797-6768=29m^2$ do piso A e $y=-9710-23\times(-423)=-9710+9729=19m^2$ do piso B.

Resposta: Pode-se concluir, corretamente, que existem duas soluções com valores positivos: e .