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OSCM - Números naturais

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Mensagempor anfran1 » Dom Ago 19, 2012 15:28

Fiz hoje a prova e tinha um exercício que eu não consegui resolver. Se alguém souber por favor me explique.
Prove que {1}^{3}+{2}^{3}+...+{n}^{3}={(1+2+...+n)}^{2} para qualquer número natural.
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Re: OSCM - Números naturais

Mensagempor MarceloFantini » Dom Ago 19, 2012 17:31

Você já aprendeu sobre o Princípio da Indução Finita? Isto resolve a questão. Se souber, é simples, se não veja e conseguirá resolver.
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Re: OSCM - Números naturais

Mensagempor anfran1 » Dom Ago 19, 2012 17:39

Sim eu tenho que colocar o K+1 e ver se é verdadeira.
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Re: OSCM - Números naturais

Mensagempor anfran1 » Seg Ago 20, 2012 20:24

O que eu faço depois de:{1}^{3}+{2}^{3}+...+{k}^{3}+{(k+1)}^{3}={(1+2+...+k)}^{2}+{(k+1)}^{3}?
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Re: OSCM - Números naturais

Mensagempor MarceloFantini » Seg Ago 20, 2012 21:01

Você tem que expandir (1+ \cdots + k)^2 + (k+1)^3 e chegar em (1+ \cdots + k + (k+1))^2.
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Re: OSCM - Números naturais

Mensagempor anfran1 » Ter Ago 21, 2012 13:38

MarceloFantini escreveu:Você tem que expandir (1+ \cdots + k)^2 + (k+1)^3 e chegar em (1+ \cdots + k + (k+1))^2.

Isso eu sei mas não consigo chegar na equação.
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Re: OSCM - Números naturais

Mensagempor anfran1 » Dom Ago 26, 2012 10:17

Por favor eu já expandi mas não consigo chegar em {(1+...+k+(k+1))}^{2}. O que está me complicando é essa parte das reticências. Alguém poderia me ajudar?
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Re: OSCM - Números naturais

Mensagempor anfran1 » Qui Ago 30, 2012 20:45

Essa questão já está me incomodando um pouco. Como faço para expandir {(1+2+...+k)}^{2}+{(k+1)}^{3} para chegar em {(1+2+...+k+(k+1))}^{2}?
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Re: OSCM - Números naturais

Mensagempor fraol » Qui Ago 30, 2012 22:10

Boa noite,

Sabendo que 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2 ( a soma dos k termos de uma PA com a_1 = 1 e razão 1 ),

Tem-se então que (1 + 2 + 3 + ... + k)^2 + (k+1)^3 = (k(k+1)/2)^2 + (k+1)^3

Agora vamos desenvolver:

(k(k+1)/2)^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}

= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k +1))}{4}

= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4))}{4}

= \frac{(k+1)^2(k + 2)^2}{4}

= \left[ \frac{(k+1)(k + 2)}{2}\right]^2

(que é o quadrado da soma dos (k+1) termos de uma uma PA com a_1 = 1 e razão 1 )

= (1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1))^2

.
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Re: OSCM - Números naturais

Mensagempor anfran1 » Sex Ago 31, 2012 17:13

Nossa não pensei nessa PA. Muito obrigado.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.