Teoria dos Números

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Teoria dos Números

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Teoria dos Números

Mensagempor Jamyson » Seg Jan 21, 2013 19:28

Não estou conseguido responder estas duas questões. Agraço se responder.

a) Sabendo que mdc (a,b) = 1 mostre que mdc (2a + b, a + 2b) = 1 ou 3.
b) Mostre que " Se a e b são números inteiros positivos, então mdc(a,b).mmc(a,b) = ab
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Re: Teoria dos Números

Mensagempor young_jedi » Qui Jan 24, 2013 21:49

vamos dizer que mdc(2a+b,2b+a)=k

portanto nos temos

2a+b=k.x

e

2b+a=y.k

onde x e y são numeros interios positivos
isolando k em uma das expressões e substituindo na outra

2a+b=\frac{x(2b+a)}{y}

y2a+by=x2b+xa

a2y-xa=b2x-y

a(2y-x)=b(2x-y)

mais como mdc(a,b)=1, então se fatorarmos a e b eles não terão nenhum fator em comum portanto para que esta igualdade seja valida nos temos que

2y-x=b.m

e

2x-y=a.m

onde m é um numero inteiro

se multiplicarmos ambas as exprssões por k nos temos


2ky-kx=k.b.m

e

2kx-ky=k.a.m

agora substituindo kx e ky pelas equações originais nos temos

2.(2b+a)-(2a+b)=k.b.m

e

2.(2a+b)-(2b+a)=k.a.m

desenvolvendo as epressões

4b+2a-2a-b=k.b.m

3b=k.b.m

e

4a+2b-2b-a=k.a.m

3a=k.a.m

ou seja

3=k.m

com sabemos que tanto k quanto m são numeros inteiros então temos que

k=1 e m=3

ou

k=3 e m=1

portanto as soluções para k são 1 ou 3
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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