Teoria dos Números

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Teoria dos Números

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Teoria dos Números

Mensagempor Jamyson » Seg Jan 21, 2013 19:28

Não estou conseguido responder estas duas questões. Agraço se responder.

a) Sabendo que mdc (a,b) = 1 mostre que mdc (2a + b, a + 2b) = 1 ou 3.
b) Mostre que " Se a e b são números inteiros positivos, então mdc(a,b).mmc(a,b) = ab
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Re: Teoria dos Números

Mensagempor young_jedi » Qui Jan 24, 2013 21:49

vamos dizer que mdc(2a+b,2b+a)=k

portanto nos temos

2a+b=k.x

e

2b+a=y.k

onde x e y são numeros interios positivos
isolando k em uma das expressões e substituindo na outra

2a+b=\frac{x(2b+a)}{y}

y2a+by=x2b+xa

a2y-xa=b2x-y

a(2y-x)=b(2x-y)

mais como mdc(a,b)=1, então se fatorarmos a e b eles não terão nenhum fator em comum portanto para que esta igualdade seja valida nos temos que

2y-x=b.m

e

2x-y=a.m

onde m é um numero inteiro

se multiplicarmos ambas as exprssões por k nos temos


2ky-kx=k.b.m

e

2kx-ky=k.a.m

agora substituindo kx e ky pelas equações originais nos temos

2.(2b+a)-(2a+b)=k.b.m

e

2.(2a+b)-(2b+a)=k.a.m

desenvolvendo as epressões

4b+2a-2a-b=k.b.m

3b=k.b.m

e

4a+2b-2b-a=k.a.m

3a=k.a.m

ou seja

3=k.m

com sabemos que tanto k quanto m são numeros inteiros então temos que

k=1 e m=3

ou

k=3 e m=1

portanto as soluções para k são 1 ou 3
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1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
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