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[Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

[Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor m0x0 » Sáb Jul 21, 2012 18:47

Boa noite a todos,

Gostaria de saber, se possível, se estes exercícios que resolvi e entreguei a uma professora minha, merecem a nota que ela me deu.

Resolvi os exercícios com um colega meu e ele acabou por ter 16 valores e eu apenas tive 5 valores.

Não acho justo que, alguns professores, seja por falta de carácter, seja por terem embirrado connosco, nos possam dar uma nota destas.

Peço que apenas me digam se realmente a resolução destes exercícios merece a nota de 5 valores, porque tenho a noção do que fiz, e não penso que mereça menos de 12 ou 13 valores.

O comentário da professora foi o seguinte: "Infelizmente o seu trabalho não chega para passar. Com um trabalho de avaliação feito em casa, não se compreende que tenha errado nas definições."

Cada alínea vale 3 valores, excepto a 2 a), que vale 2 valores.

Obrigado.

http://imageshack.us/photo/my-images/843/99832567.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/821/20324985.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/411/32557063.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/694/73911528.jpg/
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Re: [Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor MarceloFantini » Dom Jul 22, 2012 03:27

M0x0,seguindo as regras do fórum, por favor digite todos os enunciados e suas respectivas resoluções.
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Re: [Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor m0x0 » Dom Jul 22, 2012 16:06

O Enunciado é:

1. Seja {V}_{k} um Espaço Vectorial e sejam {v}_{1}, {v}_{2}, {w}_{1}, {w}_{2}, {w}_{3} e u vectores de {V}_{k}.

a) Provar que se u? <{v}_{1},{v}_{2}> e {v}_{1},{v}_{2} ? <{w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}> então u ? <{w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}>.

b) Se o sistema ({v}_{1}, {v}_{2},{w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}) é linearmente independente, o mesmo acontece com o sistema ({v}_{2},{w}_{1},{w}_{2}).

2. Sejam F e G subespaços vectoriais de um espaço vectorial {V}_{k}, provar que:

a) 0?F.

b) F?G é um subespaço vectorial de {V}_{k}.

3. Sejam {V}_{k} e {U}_{k} espaços vectoriais sobre o corpo K e ?:V?U uma aplicação linear. Mostrar que:

a) Se ({v}_{1},…,{v}_{p}) é um sistema de vectores linearmente dependente, então o mesmo acontece com o sistema (?({v}_{1}),…,?({v}_{p})).

b) Se F=<{v}_{1},…,{v}_{p}>, então ?(F)=<?({v}_{1}),…,?({v}_{p})>.

c) Se ({v}_{1},…,{v}_{p}) é uma base de F e ? é injectiva, então (?({v}_{1}),…,?({v}_{p})) é uma base de ?(F).

A minha resolução está feita nas imagens que fiz no primeiro post. Se for necessário eu faço aqui no latex.

Obrigado!
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Re: [Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor MarceloFantini » Dom Jul 22, 2012 16:12

Por favor, escreva também suas resoluções. Facilita a busca no fórum depois.
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Re: [Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor m0x0 » Dom Jul 22, 2012 20:15

Aqui vai a resolução do 1. a) e vou postar as outras:

1.
a) Sejam ?,?,{x}_{1},{x}_{2},{y}_{1},{y}_{2},{z}_{1} e {z}_{2} ?K
E u ? <{v}_{1},{v}_{2}>
Então existe pelo menos uma combinação linear de vectores de {v}_{1} e {v}_{2} tal que: u=?{v}_{1}+?{v}_{2}
Analogamente, como {v}_{1},{v}_{2} ? <{w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}>
Então existe pelo menos uma combinação linear de vectores de {w}_{1},{w}_{2} e {w}_{3} tal que:
{v}_{1}={x}_{1}{w}_{1}+{y}_{1}{w}_{2}+{z}_{1}{w}_{3}
{v}_{2}={x}_{2}{w}_{1}+{y}_{2}{w}_{2}+{z}_{2}{w}_{3}
Logo
u=?{v}_{1}+?{v}_{2}=?({x}_{1}{w}_{1}+{y}_{1}{w}_{2}+{z}_{1}{w}_{3})+?({x}_{2}{w}_{1}+{y}_{2}{w}_{2}+{z}_{2}{w}_{3})
Pondo em evidência {w}_{1},{w}_{2} e {w}_{3} obtemos:
u={w}_{1}(?{x}_{1}+?{x}_{2})+{w}_{2}(?{y}_{1}+?{y}_{2})+{w}_{3}(?{z}_{1}+?{z}_{2})
Como ?,?,{x}_{1},{x}_{2},{y}_{1},{y}_{2},{z}_{1} e {z}_{2} ? K, logo:
{T}_{1}=?{x}_{1}+?{x}_{2} ? K
{T}_{2}=?{y}_{1}+?{y}_{2} ? K
{T}_{3}=?{z}_{1}+?{z}_{2} ? K
E então u={T}_{1}{w}_{1}+{T}_{2}{w}_{2}+{T}_{3}{w}_{3}
Logo u ? <{w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}>
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Re: [Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor m0x0 » Seg Jul 23, 2012 15:20

1.
b) Sendo {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4} e {x}_{5} ? K.
E como ({v}_{1},{v}_{2},{w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}) é linearmente independente, por hipótese, isto quer dizer que:
{x}_{1}{v}_{1}+{x}_{2}{v}_{2}+{x}_{3}{w}_{1}+{x}_{4}{w}_{2}+{x}_{5}{w}_{3}=0
E que {x}_{1}= {x}_{2}={x}_{3}={x}_{4}={x}_{5}=0, ou seja, que a única combinação linear é a trivial.
Então:
0{v}_{1}+{x}_{2}{v}_{2}+{x}_{3}{w}_{1}+x}_{4}{w}_{2}+0{w}_{3}=0 <=>
<=> {x}_{2}{v}_{2}+{x}_{3}{w}_{1}+x}_{4}{w}_{2}=0 também é linearmente independente.
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Re: [Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor m0x0 » Seg Jul 23, 2012 15:29

2.
a) Como {V}_{k} é um espaço vectorial, por hipótese, então {V}_{k}?0 porque vai conter pelo menos o elemento nulo {0}_{V}.
Como F?{V}_{k} então F?0 porque contém, pelo menos, um vector v?F tal que:
\alphav?F?V,{\forall}_{\alpha}?K
Em particular, fazendo v=0, temos que:
?0?F=>0?F

b) Sendo x,y ? (F?G) e ?,? ? K
Logo x,y ? F e também x,y ? G
Como, por hipótese, temos que F,G?{V}_{k}, então:
(?x+?y) ? F?{V}_{k} e também (?x+?y) ? G?{V}_{k}
Então:
(?x+?y) ? (F?G)?{V}_{k}
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Re: [Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor m0x0 » Seg Jul 23, 2012 15:50

3.
a) Como, por hipótese, ({v}_{1},…,{v}_{p}) é linearmente dependente,
Então {x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p}=0 não é a única combinação linear, ou seja, existe pelo menos mais uma combinação linear que não seja a trivial, {\forall}_{x}?K.
Como ? é uma aplicação linear, então:
{x}_{1}?({v}_{1})+?+{x}_{p}?({v}_{p})=0
?({x}_{1}{v}_{1})+?+({x}_{p}{v}_{p})=0
?({x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p})=0
Como a aplicação linear perserva sempre o vector nulo, temos que:
?({x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p})=0 sse {x}_{1}{v}_{1}+...+{x}_{p}{v}_{p}=0
E como é linearmente dependente, existe pelo menos uma combinação linear nula que não seja a trivial, portanto (?({v}_{1}),…,?({v}_{p})) também é linearmente dependente.

b) Como F=<{v}_{1},…,{v}_{p}> então {\exists}_{x}?F tal que:
x={x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p}
Como ?(F)=<?({v}_{1}),…,?({v}_{p})>, então {\exists}_{y}??(F) tal que:
y={x}_{1}?({v}_{1}),…,{x}_{p}?({v}_{p})
Então y??(F) sse y=?(x), com x?F.
Como ?(x)=?({x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p}) e ? é uma aplicação linear, então:
?({x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p})=?({x}_{1}{v}_{1})+?+?({x}_{p}{v}_{p})={x}_{1}?({v}_{1})+?+{x}_{p}?({v}_{p})
Ou seja, qualquer vector de ?(F) pode ser escrito como combinação linear dos vectores (?({v}_{1}),…,?({v}_{p}))

c) Sendo, por hipótese, ({v}_{1},…,{v}_{p}) uma base de F, então:
F=<{v}_{1},…,{v}_{p}> e ({v}_{1},…,{v}_{p}) é linearmente independente.
Logo, {\exists}_{x}?F tal que:
x={x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p}=0 é a única combinação linear – a trivial – porque ({v}_{1},…,{v}_{p}) é linearmente independente.
Sendo ? injectiva, temos que a objectos distintos, correspondem imagens distintas, ou seja:
Se {v}_{1}???{v}_{p} então ?({v}_{1})????({v}_{p})
Seja então y= ?(F), então y= ?(x), com x?F.
Então y=?({x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p}) e como ? é uma aplicação linear, logo:
y=?({x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p})= ?({x}_{1}{v}_{1})+?+?({x}_{p}{v}_{p})={x}_{1} ?({v}_{1})+?+{x}_{p}?({v}_{p})
Portanto ?(F)=<?({v}_{1}),…,?({v}_{p})>
Como x={x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p}=0 é linearmente independente, então:
{x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p}=0 sse {x}_{1}=?={x}_{p}=v
Logo:
{x}_{1}?({v}_{1})+?+{x}_{p}?({v}_{p})=0
E como ? é uma aplicação linear:
?({x}_{1}{v}_{1})+?+?({x}_{p}{v}_{p})=0
?({x}_{1}{v}_{1}+?+{x}_{p}{v}_{p})=0
Logo (?({v}_{1}),…,?({v}_{p})) é uma base de ?(F)
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Re: [Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor MarceloFantini » Ter Jul 24, 2012 00:31

Vamos lá. Primeiramente, dada uma base, todo vetor é combinação única da base. Para ver isso, suponha que x= \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = \beta_1 u_1 + \beta_2 u_2, com \alpha_1 \neq \beta_1 \text{ e } \alpha_2 \neq \beta_2. Então (\alpha_1 -\beta_1) u_1 + (\alpha_2 - \beta_2) u_2 = 0 mas os coeficientes são não-nulos e assim \{ u_1, u_2 \} não seria base.

1)a) Seja u \in \langle v_1, v_2 \rangle. Então existem coeficientes \alpha_i, i=1,2 tais que u = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2. Como v_1,v_2 \in \langle w_1, w_2,w_3 \rangle, então v_1 = \sum_{i=1}^3 \beta_i w_i \text{ e } v_2 = \sum_{j=1}^3 \gamma_j w_j. Mas daí

u = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 = \alpha_1 \left( \sum_{i=1}^3 \beta_i w_i \right) + \alpha_2 \left( \sum_{i=j}^3 \gamma_j w_j \right)
= \sum_{i=1}^3 (\alpha_1 \beta_i + \alpha_2 \gamma_i) w_i,

mostrando que u \in \langle w_1, w_2, w_3 \rangle.

1)b) Como \{ v_1, v_2, w_1, w_2, w_3 \} é linearmente independente, então vale a condição
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 w_1 + \alpha_4 w_2 + \alpha_5 w_3 = 0 \iff \alpha_i = 0, \quad i=1,\ldots,5.

Em particular, \alpha_2 v_2 + \alpha_3 w_1 + \alpha_4 w_2 = 0 \iff \alpha_i = 0, \quad i=2,3,4.

2)a) Você errou logo no começo. Se V_k = 0 então V_k também é um espaço vetorial, cujo único elemento é o elemento neutro. Se F,G são subspaços vetoriais de V_k, então toda combinação linear de elementos de F,G permanecem nos respectivos espaços. Isto inclui a combinação nula, logo 0 \in F,G.

2)b) Como fez está correto.

3)a) Se os vetores \{ v_1, \ldots, v_p \} são linearmente dependentes, então existem constantes \alpha_i, \quad i=1,\ldots,p, nem todas nulas, tais que \sum_{i =1}^p \alpha_i v_i = 0. Usando a aplicação linear nesta combinação, temos

\gamma \left( \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i \right) = 0 \implies \sum_{i=1}^p \alpha_i \gamma (v_i) =0,

ou seja, existe uma combinação linear dos vetores \{ \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \} igual a zero sendo que nem todos os coeficientes são nulos, portanto é linearmente dependente.

3)b) Seja v \in F, então v = \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i. Daí,

\gamma(v) = \gamma \left( \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i \right) = \sum_{i=1}^p \alpha_i \gamma(v_i)

e assim \gamma(v) \in \langle \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \rangle \subset \gamma(F). Como \gamma(F) \subset \langle \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \rangle, segue \gamma (F) = \langle \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \rangle.

Seu erro neste item foi justamente assumir que \gamma(F) = \langle \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \rangle. É isto que você quer provar, é sua tese, não sua hipótese. Afirmando esta igualdade, não há nada para provar; se é o espaço gerado, é óbvio que qualquer vetor é escrito como combinação linear destes.

3)c) Seja v \in \langle v_1, \ldots, v_p \rangle com v = \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i. Temos que

v= 0 \iff \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i = 0 \iff \alpha_i =0, \quad i=1,\ldots,p.

Como a aplicação linear \gamma é injetiva, então segue que \gamma(u) = 0 \iff u = 0. Aplicando nesta combinação, temos

\gamma(v) = \gamma \left( \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i \right) = \sum_{i=1}^p \alpha_i \gamma(v_i) = \gamma(0) = 0.

Pela injetividade, sabemos que \gamma(v) = 0 \iff v=0 \iff \alpha_i = 0, \quad i=1,\ldots,p, e disso \sum_{i=1}^p \alpha_i \gamma(v_i) = 0 \iff \alpha_i = 0, \quad i=1,\ldots,p, mostrando que o conjunto de vetores \{ \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \} é linearmente independente, portanto uma base de \gamma(F).
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Re: [Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

Mensagempor m0x0 » Ter Jul 24, 2012 08:31

Bom dia,

MarceloFantini, se fosses professor e olhando para as minhas resoluções, achas que mereço a nota de 5 valores? Tenho a noção que há alguns erros mas mesmo assim...

Todas as alinhas valem 3 valores, excepto a 2. a), que vale 2 valores.

Ainda por mais, não faltei a uma única aula, entreguei todos os trabalhos que a professora enviou para casa (que nunca chegou a corrigir nem a falar deles) e era suposto trata-se de avaliação contínua.

Obrigado!
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Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)