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por m0x0 » Sáb Jul 21, 2012 18:47
Boa noite a todos,
Gostaria de saber, se possível, se estes exercícios que resolvi e entreguei a uma professora minha, merecem a nota que ela me deu.
Resolvi os exercícios com um colega meu e ele acabou por ter 16 valores e eu apenas tive 5 valores.
Não acho justo que, alguns professores, seja por falta de carácter, seja por terem embirrado connosco, nos possam dar uma nota destas.
Peço que apenas me digam se realmente a resolução destes exercícios merece a nota de 5 valores, porque tenho a noção do que fiz, e não penso que mereça menos de 12 ou 13 valores.
O comentário da professora foi o seguinte: "Infelizmente o seu trabalho não chega para passar. Com um trabalho de avaliação feito em casa, não se compreende que tenha errado nas definições."
Cada alínea vale 3 valores, excepto a 2 a), que vale 2 valores.
Obrigado.
http://imageshack.us/photo/my-images/843/99832567.jpg/http://imageshack.us/photo/my-images/821/20324985.jpg/http://imageshack.us/photo/my-images/411/32557063.jpg/http://imageshack.us/photo/my-images/694/73911528.jpg/
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m0x0
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por MarceloFantini » Dom Jul 22, 2012 03:27
M0x0,seguindo as regras do fórum, por favor digite todos os enunciados e suas respectivas resoluções.
Futuro MATEMÁTICO
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MarceloFantini
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por m0x0 » Dom Jul 22, 2012 16:06
O Enunciado é:
1. Seja
um Espaço Vectorial e sejam
,
,
,
,
e u vectores de
.
a) Provar que se u? <
,
> e
,
? <
,
,
> então u ? <
,
,
>.
b) Se o sistema (
,
,
,
,
) é linearmente independente, o mesmo acontece com o sistema (
,
,
).
2. Sejam F e G subespaços vectoriais de um espaço vectorial
, provar que:
a) 0?F.
b) F?G é um subespaço vectorial de
.
3. Sejam
e
espaços vectoriais sobre o corpo K e ?:V?U uma aplicação linear. Mostrar que:
a) Se (
,…,
) é um sistema de vectores linearmente dependente, então o mesmo acontece com o sistema (?(
),…,?(
)).
b) Se F=<
,…,
>, então ?(F)=<?(
),…,?(
)>.
c) Se (
,…,
) é uma base de F e ? é injectiva, então (?(
),…,?(
)) é uma base de ?(F).
A minha resolução está feita nas imagens que fiz no primeiro post. Se for necessário eu faço aqui no latex.
Obrigado!
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m0x0
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por MarceloFantini » Dom Jul 22, 2012 16:12
Por favor, escreva também suas resoluções. Facilita a busca no fórum depois.
Futuro MATEMÁTICO
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MarceloFantini
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por m0x0 » Dom Jul 22, 2012 20:15
Aqui vai a resolução do 1. a) e vou postar as outras:
1.
a) Sejam ?,?,
,
,
,
,
e
?K
E u ? <
,
>
Então existe pelo menos uma combinação linear de vectores de
e
tal que: u=?
+?
Analogamente, como
,
? <
,
,
>
Então existe pelo menos uma combinação linear de vectores de
,
e
tal que:
=
+
+
=
+
+
Logo
u=?
+?
=?(
+
+
)+?(
+
+
)
Pondo em evidência
,
e
obtemos:
u=
(?
+?
)+
(?
+?
)+
(?
+?
)
Como ?,?,
,
,
,
,
e
? K, logo:
=?
+?
? K
=?
+?
? K
=?
+?
? K
E então u=
+
+
Logo u ? <
,
,
>
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m0x0
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por m0x0 » Seg Jul 23, 2012 15:20
1.
b) Sendo
,
,
,
e
? K.
E como (
,
,
,
,
) é linearmente independente, por hipótese, isto quer dizer que:
+
+
+
+
E que
, ou seja, que a única combinação linear é a trivial.
Então:
<=>
<=>
também é linearmente independente.
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m0x0
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por m0x0 » Seg Jul 23, 2012 15:29
2.
a) Como
é um espaço vectorial, por hipótese, então
?0 porque vai conter pelo menos o elemento nulo
.
Como F?
então F?0 porque contém, pelo menos, um vector v?F tal que:
v?F?V,
?K
Em particular, fazendo v=0, temos que:
?0?F=>0?F
b) Sendo x,y ? (F?G) e ?,? ? K
Logo x,y ? F e também x,y ? G
Como, por hipótese, temos que F,G?
, então:
(?x+?y) ? F?
e também (?x+?y) ? G?
Então:
(?x+?y) ? (F?G)?
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m0x0
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por m0x0 » Seg Jul 23, 2012 15:50
3.
a) Como, por hipótese, (
,…,
) é linearmente dependente,
Então
+?+
=0 não é a única combinação linear, ou seja, existe pelo menos mais uma combinação linear que não seja a trivial,
?K.
Como ? é uma aplicação linear, então:
?(
)+?+
?(
)=0
?(
)+?+(
)=0
?(
+?+
)=0
Como a aplicação linear perserva sempre o vector nulo, temos que:
?(
+?+
)=0 sse
+...+
=0
E como é linearmente dependente, existe pelo menos uma combinação linear nula que não seja a trivial, portanto (?(
),…,?(
)) também é linearmente dependente.
b) Como F=<
,…,
> então
?F tal que:
x=
+?+
Como ?(F)=<?(
),…,?(
)>, então
??(F) tal que:
y=
?(
),…,
?(
)
Então y??(F) sse y=?(x), com x?F.
Como ?(x)=?(
+?+
) e ? é uma aplicação linear, então:
?(
+?+
)=?(
)+?+?(
)=
?(
)+?+
?(
)
Ou seja, qualquer vector de ?(F) pode ser escrito como combinação linear dos vectores (?(
),…,?(
))
c) Sendo, por hipótese, (
,…,
) uma base de F, então:
F=<
,…,
> e (
,…,
) é linearmente independente.
Logo,
?F tal que:
x=
+?+
=0 é a única combinação linear – a trivial – porque (
,…,
) é linearmente independente.
Sendo ? injectiva, temos que a objectos distintos, correspondem imagens distintas, ou seja:
Se
???
então ?(
)????(
)
Seja então y= ?(F), então y= ?(x), com x?F.
Então y=?(
+?+
) e como ? é uma aplicação linear, logo:
y=?(
+?+
)= ?(
)+?+?(
)=
?(
)+?+
?(
)
Portanto ?(F)=<?(
),…,?(
)>
Como x=
+?+
=0 é linearmente independente, então:
+?+
=0 sse
=?=
=v
Logo:
?(
)+?+
?(
)=0
E como ? é uma aplicação linear:
?(
)+?+?(
)=0
?(
+?+
)=0
Logo (?(
),…,?(
)) é uma base de ?(F)
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m0x0
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por MarceloFantini » Ter Jul 24, 2012 00:31
Vamos lá. Primeiramente, dada uma base, todo vetor é combinação
única da base. Para ver isso, suponha que
, com
. Então
mas os coeficientes são não-nulos e assim
não seria base.
1)a) Seja
. Então existem coeficientes
tais que
. Como
, então
. Mas daí
,
mostrando que
.
1)b) Como
é linearmente independente, então vale a condição
Em particular,
2)a) Você errou logo no começo. Se
então
também é um espaço vetorial, cujo único elemento é o elemento neutro. Se
são subspaços vetoriais de
, então toda combinação linear de elementos de
permanecem nos respectivos espaços. Isto inclui a combinação nula, logo
.
2)b) Como fez está correto.
3)a) Se os vetores
são linearmente dependentes, então existem constantes
nem todas nulas, tais que
. Usando a aplicação linear nesta combinação, temos
,
ou seja, existe uma combinação linear dos vetores
igual a zero sendo que nem todos os coeficientes são nulos, portanto é linearmente dependente.
3)b) Seja
, então
. Daí,
e assim
. Como
, segue
.
Seu erro neste item foi justamente assumir que
. É isto que você quer provar, é sua tese, não sua hipótese. Afirmando esta igualdade, não há nada para provar; se é o espaço gerado, é óbvio que qualquer vetor é escrito como combinação linear destes.
3)c) Seja
com
. Temos que
Como a aplicação linear
é injetiva, então segue que
. Aplicando nesta combinação, temos
.
Pela injetividade, sabemos que
e disso
mostrando que o conjunto de vetores
é linearmente independente, portanto uma base de
.
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MarceloFantini
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por m0x0 » Ter Jul 24, 2012 08:31
Bom dia,
MarceloFantini, se fosses professor e olhando para as minhas resoluções, achas que mereço a nota de 5 valores? Tenho a noção que há alguns erros mas mesmo assim...
Todas as alinhas valem 3 valores, excepto a 2. a), que vale 2 valores.
Ainda por mais, não faltei a uma única aula, entreguei todos os trabalhos que a professora enviou para casa (que nunca chegou a corrigir nem a falar deles) e era suposto trata-se de avaliação contínua.
Obrigado!
-
m0x0
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Álgebra Linear
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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