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por m0x0 » Sáb Jul 21, 2012 18:47
Boa noite a todos,
Gostaria de saber, se possível, se estes exercícios que resolvi e entreguei a uma professora minha, merecem a nota que ela me deu.
Resolvi os exercícios com um colega meu e ele acabou por ter 16 valores e eu apenas tive 5 valores.
Não acho justo que, alguns professores, seja por falta de carácter, seja por terem embirrado connosco, nos possam dar uma nota destas.
Peço que apenas me digam se realmente a resolução destes exercícios merece a nota de 5 valores, porque tenho a noção do que fiz, e não penso que mereça menos de 12 ou 13 valores.
O comentário da professora foi o seguinte: "Infelizmente o seu trabalho não chega para passar. Com um trabalho de avaliação feito em casa, não se compreende que tenha errado nas definições."
Cada alínea vale 3 valores, excepto a 2 a), que vale 2 valores.
Obrigado.
http://imageshack.us/photo/my-images/843/99832567.jpg/http://imageshack.us/photo/my-images/821/20324985.jpg/http://imageshack.us/photo/my-images/411/32557063.jpg/http://imageshack.us/photo/my-images/694/73911528.jpg/
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m0x0
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por MarceloFantini » Dom Jul 22, 2012 03:27
M0x0,seguindo as regras do fórum, por favor digite todos os enunciados e suas respectivas resoluções.
Futuro MATEMÁTICO
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MarceloFantini
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por m0x0 » Dom Jul 22, 2012 16:06
O Enunciado é:
1. Seja
um Espaço Vectorial e sejam
,
,
,
,
e u vectores de
.
a) Provar que se u? <
,
> e
,
? <
,
,
> então u ? <
,
,
>.
b) Se o sistema (
,
,
,
,
) é linearmente independente, o mesmo acontece com o sistema (
,
,
).
2. Sejam F e G subespaços vectoriais de um espaço vectorial
, provar que:
a) 0?F.
b) F?G é um subespaço vectorial de
.
3. Sejam
e
espaços vectoriais sobre o corpo K e ?:V?U uma aplicação linear. Mostrar que:
a) Se (
,…,
) é um sistema de vectores linearmente dependente, então o mesmo acontece com o sistema (?(
),…,?(
)).
b) Se F=<
,…,
>, então ?(F)=<?(
),…,?(
)>.
c) Se (
,…,
) é uma base de F e ? é injectiva, então (?(
),…,?(
)) é uma base de ?(F).
A minha resolução está feita nas imagens que fiz no primeiro post. Se for necessário eu faço aqui no latex.
Obrigado!
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m0x0
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por MarceloFantini » Dom Jul 22, 2012 16:12
Por favor, escreva também suas resoluções. Facilita a busca no fórum depois.
Futuro MATEMÁTICO
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MarceloFantini
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por m0x0 » Dom Jul 22, 2012 20:15
Aqui vai a resolução do 1. a) e vou postar as outras:
1.
a) Sejam ?,?,
,
,
,
,
e
?K
E u ? <
,
>
Então existe pelo menos uma combinação linear de vectores de
e
tal que: u=?
+?
Analogamente, como
,
? <
,
,
>
Então existe pelo menos uma combinação linear de vectores de
,
e
tal que:
=
+
+
=
+
+
Logo
u=?
+?
=?(
+
+
)+?(
+
+
)
Pondo em evidência
,
e
obtemos:
u=
(?
+?
)+
(?
+?
)+
(?
+?
)
Como ?,?,
,
,
,
,
e
? K, logo:
=?
+?
? K
=?
+?
? K
=?
+?
? K
E então u=
+
+
Logo u ? <
,
,
>
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m0x0
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por m0x0 » Seg Jul 23, 2012 15:20
1.
b) Sendo
,
,
,
e
? K.
E como (
,
,
,
,
) é linearmente independente, por hipótese, isto quer dizer que:
+
+
+
+
E que
, ou seja, que a única combinação linear é a trivial.
Então:
<=>
<=>
também é linearmente independente.
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m0x0
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por m0x0 » Seg Jul 23, 2012 15:29
2.
a) Como
é um espaço vectorial, por hipótese, então
?0 porque vai conter pelo menos o elemento nulo
.
Como F?
então F?0 porque contém, pelo menos, um vector v?F tal que:
v?F?V,
?K
Em particular, fazendo v=0, temos que:
?0?F=>0?F
b) Sendo x,y ? (F?G) e ?,? ? K
Logo x,y ? F e também x,y ? G
Como, por hipótese, temos que F,G?
, então:
(?x+?y) ? F?
e também (?x+?y) ? G?
Então:
(?x+?y) ? (F?G)?
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m0x0
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por m0x0 » Seg Jul 23, 2012 15:50
3.
a) Como, por hipótese, (
,…,
) é linearmente dependente,
Então
+?+
=0 não é a única combinação linear, ou seja, existe pelo menos mais uma combinação linear que não seja a trivial,
?K.
Como ? é uma aplicação linear, então:
?(
)+?+
?(
)=0
?(
)+?+(
)=0
?(
+?+
)=0
Como a aplicação linear perserva sempre o vector nulo, temos que:
?(
+?+
)=0 sse
+...+
=0
E como é linearmente dependente, existe pelo menos uma combinação linear nula que não seja a trivial, portanto (?(
),…,?(
)) também é linearmente dependente.
b) Como F=<
,…,
> então
?F tal que:
x=
+?+
Como ?(F)=<?(
),…,?(
)>, então
??(F) tal que:
y=
?(
),…,
?(
)
Então y??(F) sse y=?(x), com x?F.
Como ?(x)=?(
+?+
) e ? é uma aplicação linear, então:
?(
+?+
)=?(
)+?+?(
)=
?(
)+?+
?(
)
Ou seja, qualquer vector de ?(F) pode ser escrito como combinação linear dos vectores (?(
),…,?(
))
c) Sendo, por hipótese, (
,…,
) uma base de F, então:
F=<
,…,
> e (
,…,
) é linearmente independente.
Logo,
?F tal que:
x=
+?+
=0 é a única combinação linear – a trivial – porque (
,…,
) é linearmente independente.
Sendo ? injectiva, temos que a objectos distintos, correspondem imagens distintas, ou seja:
Se
???
então ?(
)????(
)
Seja então y= ?(F), então y= ?(x), com x?F.
Então y=?(
+?+
) e como ? é uma aplicação linear, logo:
y=?(
+?+
)= ?(
)+?+?(
)=
?(
)+?+
?(
)
Portanto ?(F)=<?(
),…,?(
)>
Como x=
+?+
=0 é linearmente independente, então:
+?+
=0 sse
=?=
=v
Logo:
?(
)+?+
?(
)=0
E como ? é uma aplicação linear:
?(
)+?+?(
)=0
?(
+?+
)=0
Logo (?(
),…,?(
)) é uma base de ?(F)
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m0x0
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por MarceloFantini » Ter Jul 24, 2012 00:31
Vamos lá. Primeiramente, dada uma base, todo vetor é combinação
única da base. Para ver isso, suponha que
, com
. Então
mas os coeficientes são não-nulos e assim
não seria base.
1)a) Seja
. Então existem coeficientes
tais que
. Como
, então
. Mas daí
,
mostrando que
.
1)b) Como
é linearmente independente, então vale a condição
Em particular,
2)a) Você errou logo no começo. Se
então
também é um espaço vetorial, cujo único elemento é o elemento neutro. Se
são subspaços vetoriais de
, então toda combinação linear de elementos de
permanecem nos respectivos espaços. Isto inclui a combinação nula, logo
.
2)b) Como fez está correto.
3)a) Se os vetores
são linearmente dependentes, então existem constantes
nem todas nulas, tais que
. Usando a aplicação linear nesta combinação, temos
,
ou seja, existe uma combinação linear dos vetores
igual a zero sendo que nem todos os coeficientes são nulos, portanto é linearmente dependente.
3)b) Seja
, então
. Daí,
e assim
. Como
, segue
.
Seu erro neste item foi justamente assumir que
. É isto que você quer provar, é sua tese, não sua hipótese. Afirmando esta igualdade, não há nada para provar; se é o espaço gerado, é óbvio que qualquer vetor é escrito como combinação linear destes.
3)c) Seja
com
. Temos que
Como a aplicação linear
é injetiva, então segue que
. Aplicando nesta combinação, temos
.
Pela injetividade, sabemos que
e disso
mostrando que o conjunto de vetores
é linearmente independente, portanto uma base de
.
Futuro MATEMÁTICO
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MarceloFantini
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- Andamento: formado
por m0x0 » Ter Jul 24, 2012 08:31
Bom dia,
MarceloFantini, se fosses professor e olhando para as minhas resoluções, achas que mereço a nota de 5 valores? Tenho a noção que há alguns erros mas mesmo assim...
Todas as alinhas valem 3 valores, excepto a 2. a), que vale 2 valores.
Ainda por mais, não faltei a uma única aula, entreguei todos os trabalhos que a professora enviou para casa (que nunca chegou a corrigir nem a falar deles) e era suposto trata-se de avaliação contínua.
Obrigado!
-
m0x0
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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