[Espaço Vetorial] Dimensão

por **joao_al_campos** » Sáb Abr 07, 2012 13:27

Pessoal,

Não estou conseguindo resolver a questão abaixo:

O espaço vetorial formado pelos pontos (x1, x2, x3, x4, x5, x6) do R6 tais que x1 = 0 e x5 + x6 = 0 tem dimensão:
(a) = 01
(b) = 02
(c) = 03
(d) = 04
(e) = 05

Está questão foi aplicada no último concurso do PROMINP e a resposta da mesma foi letra D.

Já procurei na teoria de álgebra as propriedades dos vetores e espaços vetorias, mas não consigo encontrar nada relacionado a dimensão.

Alguem poderia me ajudar?

Agradeço desde já.
João Campos

por **LuizAquino** » Sáb Abr 07, 2012 14:41

joao_al_campos escreveu:O espaço vetorial formado pelos pontos (x1, x2, x3, x4, x5, x6) do R6 tais que x1 = 0 e x5 + x6 = 0 tem dimensão:
(a) = 01
(b) = 02
(c) = 03
(d) = 04
(e) = 05

joao_al_campos escreveu:Está questão foi aplicada no último concurso do PROMINP e a resposta da mesma foi letra D.

Já procurei na teoria de álgebra as propriedades dos vetores e espaços vetorias, mas não consigo encontrar nada relacionado a dimensão.

Desculpe-me, mas você não procurou direito. A definição de dimensão de um espaço vetorial é feita depois do estudo do conceito de base.

Por exemplo, se você fizer uma busca no Google pela expressão "dimensão espaço vetorial", você vai encontrar muitos materiais. Inclusive videoaulas no YouTube. Faça essa pesquisa primeiro. Se a dúvida persistir, então volte a postar aqui.

por **joao_al_campos** » Dom Abr 08, 2012 12:46

Professor,

Realizei a pesquisa conforme informado, e olhei alguns conceitos para base e dimensão, mas infelizmente não vejo nem como começar a desenvolver esta questão. Na maioria dos exercicios aparecem 02 vetores, coisas assim. Se tiver algum material que possa me ajudar a entender como iniciar este problema eu ficaria muito agradecido.

Realmente está é a única questão que não estou conseguindo resolver.

por **MarceloFantini** » Seg Abr 09, 2012 03:22

Para testar seu entendimento, qual a relação entre quantos elementos compõem a base e a dimensão do espaço?

por **joao_al_campos** » Seg Abr 09, 2012 09:56

Professor,

O número de elementos da base é a dimensão do espaço vetorial.

Algumas coisas eu já entendi, mas não sei como iniciar este exercício.

João Campos

por **LuizAquino** » Seg Abr 09, 2012 16:14

joao_al_campos escreveu:Realizei a pesquisa conforme informado, e olhei alguns conceitos para base e dimensão, mas infelizmente não vejo nem como começar a desenvolver esta questão. Na maioria dos exercicios aparecem 02 vetores, coisas assim. Na maioria dos exercicios aparecem 02 vetores, coisas assim. Se tiver algum material que possa me ajudar a entender como iniciar este problema eu ficaria muito agradecido.

Eu recomendo que você consulte o livro: Santos, Reginaldo J. Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2010. Esse livro está disponível na página do autor:

http://www.mat.ufmg.br/~regi/

Vide a seção "4.1 Base e Dimensão".

joao_al_campos escreveu:O número de elementos da base é a dimensão do espaço vetorial.

Algumas coisas eu já entendi, mas não sei como iniciar este exercício.

Como

e

(ou seja,

), todos os vetores do espaço em questão tem o seguinte formato:

$(0,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, -x_5)$

Agora note que:

$(0,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, -x_5) = x_2(0,\, 1,\, 0,\, 0,\, 0,\, 0) + x_3(0,\, 0,\, 1,\, 0,\, 0,\, 0)$ $\, + x_4(0,\, 0,\, 0,\, 1,\, 0,\, 0) + x_5(0,\, 0,\, 0,\, 0,\, 1,\, -1)$

Tente concluir o exercício a partir daí.