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Base ortogonal

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Mensagempor Danilo » Sáb Jun 11, 2016 22:57

Pessoal, estou em dúvida no seguinte exercício

Seja W o espaço ortogonal de {R}^{4} ortogonal a u1 = (1,1,2,2) e u2 = (0,1,2,-1). Encontre uma base ortogonal e uma base ortonormal de W. Sei que se eu encontrar uma base ortogonal para encontrar uma base ortonormal é só normalizar, certo?

Não sei como encontrar uma base ortogonal. Sei que para que dois vetores sejam ortogonais o produto interno entre eles deve ser zero. Mas não estou conseguindo usar essa informação para resolver o exercício. Grato quem puder ajudar.
Danilo
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Re: Base ortogonal

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jun 12, 2016 17:24

Danilo escreveu:Pessoal, estou em dúvida no seguinte exercício

Seja W o espaço ortogonal de {R}^{4} ortogonal a u1 = (1,1,2,2) e u2 = (0,1,2,-1). Encontre uma base ortogonal e uma base ortonormal de W. Sei que se eu encontrar uma base ortogonal para encontrar uma base ortonormal é só normalizar, certo?


Olá Danilo, boa tarde!

Pensei no seguinte: no \mathbb{R}^2, a base canônica é formada por (1, 0), (0, 1); No \mathbb{R}^3, a base canônica é formada por (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Então no \mathbb{R}^4, a base deverá ser formada por u_1, u_2, u_3, u_4, desde que sejam L.I.

Encontremos u_3:

Seja u_3 = (a, b, c, d). Se a base é ortogonal, então u_3 \cdot u_2 = 0 e u_3 \cdot u_1 = 0. Desta condição chegamos em \begin{cases} a + b + 2c + 2d = 0 \\ b + 2c - d = 0 \end{cases}; como pode notar, trata-se de um sistema indeterminado (escolha uma solução).

Encontremos u_4:

Seja u_4 = (e, f, g, h). Se a base é ortogonal, então u_4 \cdot u_3 = 0, u_4 \cdot u_2 = 0 e u_4 \cdot u_1 = 0... (escolha uma solução).

Se u_1 e u_2 fossem ortogonais, teríamos concluído o exercício; mas não são, e, para torná-los ortogonais podemos aplicar o Processo de Gram-Schmidt.

Conhece esse Processo?
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Re: Base ortogonal

Mensagempor Danilo » Dom Jun 12, 2016 17:54

DanielFerreira escreveu:
Danilo escreveu:Pessoal, estou em dúvida no seguinte exercício

Encontremos u_3:


Se u_1 e u_2 fossem ortogonais, teríamos concluído o exercício; mas não são, e, para torná-los ortogonais podemos aplicar o Processo de Gram-Schmidt.

Conhece esse Processo?


Conheço! Mas não sei como aplicá-lo no exercício.
Danilo
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.