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[Equação matricial envolvendo matriz inversa] Como isolar X?

[Equação matricial envolvendo matriz inversa] Como isolar X?

Mensagempor Mario_Mascarenhas » Sáb Mar 22, 2014 17:52

Olá, pessoal.
Estou com dificuldade para isolar o X em uma questão.

(B.A^t)^t.X.B.A^t = 4A.A^t + C.X.B.A^t

O professor isolou o x e ficou assim. Não entendi de que modo ele chegou a isso:

X = [(B.A^t)^t - C]^-1 . 4A.A^t . (B.A^t)^-1

Alguém poderia me explicar, detalhadamente?
Obrigado.

Obs.: o " ^t " significa matriz transposta.
Mario_Mascarenhas
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Re: [Equação matricial envolvendo matriz inversa] Como isola

Mensagempor e8group » Seg Mar 24, 2014 01:12

Boa noite !

Só para simplificar vou considerar W = B \cdot A^t e escrever a eq.matricial como

W^t \cdot X \cdot W = 4 A \cdot A^t + C\cdot X \cdot W

ou

W^t \cdot (X \cdot W)  = 4 A \cdot A^t + C\cdot( X \cdot W)

ou ainda

W^t \cdot (X \cdot W) - C \cdot ( X \cdot W) = 4 A \cdot A^t

Agora observe que deixando a matriz entre parêntesis em evidência , temos

(W^t - C) (X \cdot W) = 4 A \cdot A^t (Se aplicar a distributiva chegará na mesma eq. acima)

Para isolar X , a matriz W^t - C e W devem ser invertíveis . Daí é só multiplicar ambos os membros por (W^t - C)^{-1}(pela esquerda) e W^{-1} (pela direita) .

Isto é , (W^t - C) (X \cdot W) = 4 A \cdot A^t  \implies (W^t - C)^{-1}(W^t - C) (X \cdot W)= 4(W^t - C)^{-1} A \cdot A^t   \implies  I \cdot (X \cdot W) =  X \cdot W = 4(W^t - C)^{-1} A \cdot A^t . Agora é só fazer a segunda etapa e dps subst. W por B \cdot A^t .
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.